四边形ABCD内接于圆,AD,CB的延长线交于点E,F是BD延长线上一点,DE

证明：根据定理“三角形任一外角等于不相邻两个内角的和”可得：∠AEF＝∠B＋∠BPE∠DFE＝∠PDF＋∠APE因为EP是∠APB的平分线所以∠APE＝∠BPE因为∠B＝∠PDF（圆内接四边形外角等于

连接AC,设CD=x,则CE=2x,DE=3x∵弧AD=弧BD∴∠BAD=∠ACD∵∠ADC=∠EDA∴△ACD∽△EDA∴AD/DE=DC/AD∴AD²=DC*DE∴8²=3x&

∵四边形ABCD内接于圆O∴∠DCB+∠DAB=180°又∠PAD+∠DAB=180°∴∠PAD=∠DCB①∵DP//CA∴∠APD=∠BAC②又∠BAC=∠CDB③（等弧所对相等）由②③可得∠APD

由条件知四边形ABCD为等腰梯形∠AOB=∠COD令∠1=∠AOB；∠2=∠AOD；∠3=∠BOC；圆半径为R四弧的等式同乘R得到2∠1=∠2+∠3又2∠1+∠2+∠3=2π得∠2+∠3=π解法一：A

证明：（1）∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠EDC=∠ABC，∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠FDE，∴∠FDE=∠ACB=∠ABC，∴∠FDE=∠EDC，即DE平

∵∠EDF=∠ADB,∠ADB=∠ACB,∴∠EDF=∠ACB∵∠ADC=180°-∠EDC=180°-∠EDF,∠ACE=180°-∠ACB∴∠ADC=∠ACE∴△ADE全等于△ACE∴AC/AE=

证明：如图,作△BCE的外接圆交EF于G,连接CG,因∠FDC=∠ABC=∠CGE,故F、D、C、G四点共圆,由切割线定理,有EF2=（EG+GF）•EF,=EG•EF+GF&

证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴弧AD＝弧CD∴AD＝CD（等弧对等弦）∵AB∥CD∴∠CDB＝∠ABD∴∠CDB＝∠CBD∴CD＝BC∴AD＝CD＝BC

根据余弦定理：AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosB=3^2+1^2-2*3*1*cosB=10-6cosBAC^2=DA^2+DC^2-2DA*DC*cosD=2^2+2^2-2*2*

（1）若AB∥CD，则ABCD为矩形．如图：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，∵圆内接四边形对角互补，∴∠B+∠D=180°，∴∠B=∠D=90°，∴▱ABCD为矩

因为BE平行于AC,所以∠EBC=∠ACB=∠ADB,即∠EBC=∠ADB,∠E=∠ACD=∠ABD,即∠E=∠ABD,对三角形ABD和三角形CEB,因为∠EBC=∠ADB,∠E=∠ABD,所以两三角

对于正方形“内接于”圆,说明是在圆的内部,“外切于”圆,说明是在圆的外部；对于圆“内切于”正方形,说明在正方形内部；“外接于”正方形,说明在正方形外部.四边形内接于圆,等同于,圆外接于四边形,圆内切于

证明:∠ABC+∠D=180°(圆内接四边形对角互补);∠ABC+∠EBC=180°(平角定义).∴∠EBC=∠D.(等式的性质)又AC平分∠BAD;AC=CE,则∠E=∠EAC=∠CAD.所以,⊿A

解题思路：本题考察了切线的判定方法，及已知特殊线段的长度，得到三角形ODC是等边三角形，再结合扇形面积公式，等边三角形面积公式，求得阴影部分面积。解题过程：

延长CD到E,使DE=BC,连接AE∵四边形ABCD内接于圆∴∠ADE=∠ABC（圆内接四边形,外角等于内对角）又∵DE=BC,AD=AB∴△ADE≌△ABC（SAS）∴AE=AC=1∵∠ACD=60

连结AC，OB，且交于点K∵AB=BC，AO=CO，∴AC⊥BO，∴AK2+BK2=AB2=1，AK2+OK2=AO2=4，BK+KO=BO=2，解得：OK=74，∵AC⊥BO，∠ACD=90°，∴O

因为∠ABC=124,所以∠ADC=56,又∠ACD=90,所以∠CAD=34,因为AC平分∠BAD,所以∠BAD=68,所以∠BCD=112.（内接于圆的四边形对角是互补的,直径所对的角为直角）

题目欠完整,请补充

∠GFC=∠FEC+∠FCE,∠DGF=∠DAE+∠GEA,(三角形外角等于两不相邻内角之和)∠FEC=∠GEA,(EF平分∠AED)∠FCE=∠DAE,(圆内接四边形外角等于内对角)∠GFC=∠DG