搜搜做题作业网已知双曲线C;x2/4-y2=1,P是任意一点,求证,点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 00:26:17
已知双曲线C;x2/4-y2=1,P是任意一点,求证,点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数
x2/4-y2=1
a^2=4,b^2=1
a=±2,b=±1
双曲线的渐近线为y=±x/2
x±2y=0
设P(a,b)
P到两条渐近线的距离为
|a*1+b*2|/√(1^2+2^2)=|a+2b|/√5
|a*1+b*(-2)|/√(1^2+(-2)^2)=|a-2b|/√5
距离的乘积为
|a^2-4b^2|/5
因为P是双曲线上的点所以满足
a^2/4-b^2=1
a^2-4b^2=4
所以|a^2-4b^2|/5=4/5
因此点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数4/5
a^2=4,b^2=1
a=±2,b=±1
双曲线的渐近线为y=±x/2
x±2y=0
设P(a,b)
P到两条渐近线的距离为
|a*1+b*2|/√(1^2+2^2)=|a+2b|/√5
|a*1+b*(-2)|/√(1^2+(-2)^2)=|a-2b|/√5
距离的乘积为
|a^2-4b^2|/5
因为P是双曲线上的点所以满足
a^2/4-b^2=1
a^2-4b^2=4
所以|a^2-4b^2|/5=4/5
因此点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数4/5