如何证明函数的单调性和奇偶性？

如何证明函数的单调性和奇偶性？？？？？ 求详细步骤和一些例题说明 谢谢

解题思路： 函数的单调性和奇偶性，现在用定义，以后还会学到导数证明单调性
解题过程：
函数的单调性和奇偶性 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 例2．偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知在上是增函数，证明如下： 任取 因为在上是减函数，所以。 又是偶函数，所以 ， 从而，故在上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。 例3．若函数与的图象关于原点对称，判断：函数 是什么函数。 解：设图象上任意一点为P（） 与的图象关于原点对称， 关于原点的对称点在的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。 二、证明单调性和奇偶性 1.证明单调性 例4．已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证： f(x)是R上的增函数 解:设x₁>x₂ g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 g(x₁) > g(x₂) >0 g(x₁)+1 > g(x₂)+1 >0 > >0 - >0 f(x₁)- f(x₂)=- =1--(1-) =->0 f(x₁) >f(x₂) f(x)是R上的增函数 例5．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 证明：对一切有。 且，令，得， 现设，则，， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。 2.证明奇偶性 例6．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函数。 三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例7．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。 解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在上是减函数， 由得。 （1）当时， ，不等式不成立。 （2）当时， （3）当时， 综上所述，所求的取值范围是。 例8．已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。 解： 对恒成立 对恒成立 对恒成立， 四、不等式 1.解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。 例9．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。 解：设且 则 ， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。 2. 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。 例10．已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有 五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。 例11．已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。 分析：且， 又时，是增函数， 是偶函数， 故 六、综合问题求解 解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。 例12.设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。 （1）证明； （2）证明：在R上是增函数； （3）设， ，若，求满足的条件。 解：（1）令得， 或。 若，当时，有，这与当时，矛盾， 。 （2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由 （3）由得 由得 （2） 从（1）、（2）中消去得，因为 ， 即
最终答案：略