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如图,已知在三角形ABC中AD=BE=CF,且△DEF是等边三角形,求证:△ABC是等边三角形

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 17:00:50
如图,已知在三角形ABC中AD=BE=CF,且△DEF是等边三角形,求证:△ABC是等边三角形
如图,已知在三角形ABC中AD=BE=CF,且△DEF是等边三角形,求证:△ABC是等边三角形
证法一:这里用了两个明显的结论①当三角形两边不变时,第三边增大时,第三边对的角也增大.
②当三角形两边不变时,第三边对的角增大时,其余两角都变小
证明:由对称轮换性不妨设A》B》C那么BC》AC》AB
∵AD=BE=CF
∴BF》CD》AE,那么由①∴∠BEF》∠CFD》∠ADE
由②∴∠BFE《∠CDF《∠AED
又∠BFE=120°-∠CFD
∠CDF=120°-∠ADE
∠AED=120°-∠BEF
由① ∠CDF》∠BFE》∠AED 结合 ②只能
∠BFE=∠CDF=∠AED
三个三角形全等,从而△ABC是正三角形
用解析法
以B为原点,BC为X轴建立直角坐标系:设AD=BE=CF=m,则A(ccosB,csinB)B(0,0)
,C(a,0),E(mcosB,msinB),F(a-m,0),D点的坐标比较难算一点,可以通过将FE顺时针旋转60度得到,用复数法:FD=FE(cos(-60)+isin(-60))=(mcosB-a+m+imsinB)(1/2-i根3/2)=
(根3sinB+cosB+1)m/2-a/2+[(sinB-根3cosB-根3)m+根3a/2)]i,可得
D(根3sinB+cosB-1)m/2+a/2,(sinB-根3cosB-根3)m+根3a/2)),又因为向量AD=(m/b)AC可的到方程组,将含m的移到一边,两个方程式相除消去m,结合正弦定理,化简可得:
sinA=SINB=SINC用解析法
以B为原点,BC为X轴建立直角坐标系:设AD=BE=CF=m,则A(ccosB,csinB)B(0,0)
,C(a,0),E(mcosB,msinB),F(a-m,0),D点的坐标比较难算一点,可以通过将FE顺时针旋转60度得到,用复数法:FD=FE(cos(-60)+isin(-60))=(mcosB-a+m+imsinB)(1/2-i根3/2)=
(根3sinB+cosB+1)m/2-a/2+[(sinB-根3cosB-根3)m+根3a/2)]i,可得
D(根3sinB+cosB-1)m/2+a/2,(sinB-根3cosB-根3)m+根3a/2)),又因为向量AD=(m/b)AC可的到方程组,将含m的移到一边,两个方程式相除消去m,结合正弦定理,化简可得:
:sinA=SINB=SINC