如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 18:49:24

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y²=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，
（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；
（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求△ABC的面积S的最大值；
（3）设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

如图，斜率为1的直线过抛物线Ω：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于两点A，B，

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵直线l斜率为1且过焦点F(
p
2，0)，∴直线l的方程为y＝x−
p
2．
联立

y＝x−
p
2
y2＝2px，消去y得到关于x的方程x2−3px+
p2
4＝0，
由题意，△=9p²-p²＞0．
由根与系数的关系得x₁+x₂=3p，x1x2＝
p2
4．
由抛物线的定义可得：|AB|=xx₁+x₂+p=4p，又|AB|=8，∴4p=8，∴p=2．
因此所求的抛物线方程为y²=4x．
（2）由题意可知：当过点C的切线与AB平行时三角形ABC的面积最大，
设此切线为y=x+t，与抛物线方程联立得

y＝x+t
y2＝2px，消去y得到关于x的方程x²+（2t-2p）x+t²=0，
∴△=（2tt-2p）²-4t²=0，解得t＝
p
2，∴切线为y＝x+
p
2．
因此切线与直线AB的距离d=
|−
p
2−
p
2|

过抛物线y2 =2px (p>0)焦点,且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若AB=8,求抛物线方程已知：斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）斜率为43的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F（1，0），且与抛物线相交于A、B两点．（2014•湖北模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点 .已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1,且过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,线段AB的长为3, 1.已知抛物线y^2=2PX(P＞0).直线的斜率为-1,且过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,线段AB的长为3,求 F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设|AF|=a，|BF|=b，则