等价无穷小的分子分母替换问题

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 23:18:45

等价无穷小的分子分母替换问题
求两个无穷小之比的极限时,分子分母都可以用等价无穷小来代替.这是个定理.
那么分子分母必须是同时替换还是可只替换一个?
如 lim (sinx -tanx )/ [√（1+x∧2) -1）√ (1+sinx) -1 ] 可以只将sinx 换成 x 为什么

那么分子分母必须是同时替换还是可只替换一个?
可替换一个,也可替换两个,视方便而定.
但lim (sinx -tanx )/ [√（1+x∧2) -1）√ (1+sinx) -1 ] 可以只将sinx 换成 x
不可以,请注意是分子或分母而不是分子分母中的某一项或某几项.这是完全不同的概念.例如sinx和x等价,但（sinx-tanx）=-sinx(1-cosx)=-2sinx sin^2(x/2),它等价于-2x(x/2)^2 =-1/2x^3,是比x高阶的无穷小.
如果将sinx以x代换,再计算x-tanx的话,结果将是不同的,这显然是错误的.如果可以这样代换tanx也用x代换,分子就是零了,最后导致无法计算,或错误.
看了你就该问题的进一步求助,再补充一下：
等价无穷小并非完全相等,只是二者之商的极限为1,因此在做乘除法时可以相互替换不改变求极限的结果.在做加减法时,二者之差未必是零,很可能是一个高阶无穷小,不可直接替换,直接替换往往导致算出的差为零（实际上不为零）.

求极限时关于分母和分子用等价无穷小代替的问题分子或者分母可以单独用等价无穷小代替吗?还是只能同时有关高数求极限无穷小等价替换的问题.如图求极限时等价无穷小替换的问题解题步骤里的第①步,分子是怎么来的?我知道分母用了等价无穷小因子替换. 等价无穷小的替换标准是什么? 等价无穷小替换的替换条件?怎么老是换错? 等价无穷小在分子为多项加减时可以替换的条件是什么啊,什么时候就可以替换了? 等价无穷小的替换问题比如 1/sinxcosx-1/x能不能等价替换成1/xcosx-1/x?所谓的在加减不能替换到底是高等数学中的用无穷小替换计算极限的条件是分子分母中的x阶数相消吗? 等价无穷小的替换u趋近于0,ln(1+u)与u是等价无穷小加减项的等价无穷小在什么条件下能用等价无穷小替换? 关于求极限时的等价无穷小的替换