一道竞赛题难题△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cos

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 10:10:41

一道竞赛题难题
△ABC中a,b,c分别为角A,B,C的对边
若a(1-2cosA)+b(1-2cosB)+c(1-2cosC)=0,求证△ABC为等边三角形
（提示：a=bcosC+ccosB）

用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
sinA(1-2cosA)+sinB(1-2cosB)+sinC(1-2cosC)=0
即sinA+sinB+sinC=sin2A+sin2B+sin2C
而sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)
=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2
=4sin(A+B)/2cos(A/2)cos(B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ...1
sin2A+sin2B+sin2C=sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=4sinAsinBsinC ..2
由1,2得
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=1/8
而sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
=(cos(A-B)/2)-cos(A+B)/2)*sin(C/2)/2
≤(1-sin(C/2))*sin(C/2)/2
≤(1-1/2)*(1/2)/2=1/8
等号成立当且仅当sin(C/2)=1/2,cos(A-B)/2=1
解得C=60,A=B,ABC是等边三角形
故原命题得证

(1/2)在三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,且a cosC,b cosB,c cosA成等差数列（1 在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c已知(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b 三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c 求 c 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosA-B/2cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C 在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b/c=cosB/cosC,且a=1/2c,则cosA=? 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b. 在三角形ABC中内角的对边分别为a.b.c已知(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b 1)求sinC/si 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则（　　）在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a cosA=c cosB+b cosC.（1）求角A的高中三角函数在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2c-b/a=cosB/cosA(1)求角A的大在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA/cosB=a/b,且角C=2pai/3(1)求角A 在三角形ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c已知cosA-2cosC/cosB=2c-a/b