已知直线Y=2x-5与X轴和Y轴分别交于点A和点B

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/09 21:31:05

已知直线Y=2x-5与X轴和Y轴分别交于点A和点B
（2012•三明）已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图,当点M与点A重合时,求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

（1）①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B,∴A(5/2 ,0),B（0,-5)
当顶点M与点A重合时,∴M(5/2 ,0),
∴抛物线的解析式是：y=-(x-5/2)^2,即y=-x^2+5x-25/4 ．
②∵N在直线y=2x-5上,设N（a,2a-5）,又N在抛物线=-x^2+5x-25/4上,
∴2a-5=-a^2+5a-25/4．
解得 a1=1/2 ,a2=5/2（舍去）
∴N(1/2,-4)．
过N作NC⊥x轴,垂足为C．
∵N(1/2,-4),∴C(1/2,0)．
∴NC=4． MC=OM-OC=5/2-1/2=2．
∴MN=√(NC^2+MC^2)=√(4^2+2^2) =2 √5；
（2）∵A(5/2 ,0),B（0,-5）．
∴OA=5/2,OB=5,直线AB的解析式是：y=2x-5,
则OB=2OA,AB=√(OA^2+OB^2)=(5√5)/2,
当OM⊥AB时,直线OM的解析式是：y=-1/2x,
解方程组：
y=2x-5,y==-1/2x,解得：
x=2
y=-1,
则M的坐标是（2,-1）；
当ON⊥AB时,N的坐标是（2,-1）,设M的坐标是（m,2m-5）则m＞2,
∵ON=√5,
∴OM^2=ON^2+MN^2,
即m^2+（2m-5）^2=5+（2√5 )^2 ,解得：m=4,
则M的坐标是M（4,3）．
故M的坐标是：（2,-1）或（4,3）．