已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x∈[-1,1]

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 03:13:59

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x∈[-1,1]
问：关于x的方程f(x)=2a²有解,求实数a的取值范围（我算出的范围为[-17/6,-√2]U[√2,17/6])
不确定...

把f(x)展开得：f(x)=2^2x+2^(-2x)-2a*2^x+2a*2(-x)+2a²
f(x)=(2^x-2^-x)²+2-2a(2^x-2^-x)+2a²
令y=f(x),t=2^x-2^-x,
显然t=2^x-2^-x在[-1,1]上是增函数；
所以,易得t∈[-3/2,3/2]
所以,y=t²-2at+2a²+2
由题意得：方程：t²-2at+2a²+2=2a²在t∈[-3/2,3/2]上有解
即：t²-2at+2=0在t∈[-3/2,3/2]上有解
分离变量：2at=t²+2
显然t=0不是该方程的解,所以,2a=t+2/t
令h(t)=t+2/t,t∈[-3/2,0)U(0,3/2]
这是一个对勾函数（耐克函数）,勾底为t=±√2
易得h(t)∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
即：2a∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞)
所以,a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)
再问：很不错！！跟我写的差不多，不过你那个t是有范围的，为什么到最后变成了a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)
再答： 2a=t+2/t 令h(t)=t+2/t，t∈[-3/2,0)U(0,3/2] 这是一个对勾函数（耐克函数），勾底为t=±√2 易得h(t)∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞) 即：2a∈(-∞,-2√2]U[2√2,+∞) 所以，a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞) 用心一点看哦，我相信你能看懂的~~
再问：在每个象限内，这个耐克函数都是增函数，所以在t=-3/2时对应的应该是最小值.... 相反，t=3/2时对应的应该是最大值..可是最大值和最小值不会是无穷大啊？而且为什么要把上面的t∈[-3/2,3/2]拆成t∈[-3/2,0)U(0,3/2]，就不对了吧...由这个范围确实得出的解为a∈(-∞,-√2]U[√2,+∞)，我知道的，请解释下为什么要拆？谢谢
再答：不是的，令h(t)=t+2/t，t∈[-3/2,0)U(0,3/2] 这是一个对勾函数（耐克函数），勾底为t=±√2 -3/2

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