已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/05 17:01:01
已知x^2+y^2=z^2,求证:xyz是60的倍数.
(1)如果x、y、z 都不是 3 的倍数,则由 (3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1 知,x^2、y^2、z^2 被 3 除都余 1 ,等式左边被 3 除余 2 ,右边被 3 除余 1 ,矛盾,
因此 3|xyz ;
(2)由等式可知,x、y、z 不可能都是奇数;
如果 z 是偶数,假如 x、y 是奇数,则左边模 4 余2 ,右边模 4 余 0 ,所以如果 z 是偶数,则 x、y 都是偶数;
不妨设 x 为偶数,y、z 为奇数.则由 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 知,y^2、z^2 模 8 余 1 ,
因此 x^2=z^2-y^2 中,右边是 8 的倍数,所以 x 必是 4 的倍数 ,
所以,总有 4|xyz ;
(3)因为 (5k±1)^2=5(5k^2±2k)+1 ,(5k±2)^2=5(5k^2±4k)+4 ,
所以,如果 x、y、z 都不是 5 的倍数,则等式左边模 5 余 2 或 0 或 8 ,右边模 5 余 1 或 4 ,
等式不可能成立,因此 5|xyz ;
综上可得 60|xyz .
因此 3|xyz ;
(2)由等式可知,x、y、z 不可能都是奇数;
如果 z 是偶数,假如 x、y 是奇数,则左边模 4 余2 ,右边模 4 余 0 ,所以如果 z 是偶数,则 x、y 都是偶数;
不妨设 x 为偶数,y、z 为奇数.则由 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 知,y^2、z^2 模 8 余 1 ,
因此 x^2=z^2-y^2 中,右边是 8 的倍数,所以 x 必是 4 的倍数 ,
所以,总有 4|xyz ;
(3)因为 (5k±1)^2=5(5k^2±2k)+1 ,(5k±2)^2=5(5k^2±4k)+4 ,
所以,如果 x、y、z 都不是 5 的倍数,则等式左边模 5 余 2 或 0 或 8 ,右边模 5 余 1 或 4 ,
等式不可能成立,因此 5|xyz ;
综上可得 60|xyz .
已知x^2+y^2+z^2=1,求证x+y+z-2xyz
已知X,Y,Z为3个互不相等的实数,且X+1/Y=Y+1/Z=Z+1/Z求证(xyz)^2=1
已知X,Y,Z为三个互不相等的数,且X+ 1/Y =Y+ 1/Z = Z+ 1/X.求证:(XYZ)^2 = 1
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2
已知x+y+z=0,xyz=1,求证:x,y,z中必有一个大于2/3.
已知x,y,z是实数,且xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3大于等于2(xy+xz+yz)
已知x,y,z∈R+,且x+2y+3z=3,.则xyz的最大值是_____.
已知正实数xyz满足3的x次方=4的y次方=6的z次方,求证:1/z-1/x=1/2y
已知x,y,z属于R+(正实数),且xyz(x+y+z)=4+2*根号下3,则(x+y)(y+z)的最小值是?
已知xyz适合关系式√3x+y-z-2+√2x+y-z=√x+y-2011+2011-x-y,试求xyz的值
有实数x,y,z;已知x+y+z=2,xyz=4;求Z的取值区间
已知x.y.z属于R,求证:(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)大于等于8xyz