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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,∠ABC=60°,E、F分别是PB,C

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/03/29 07:09:11
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,∠ABC=60°,E、F分别是PB,CD的中点.
(Ⅰ)证明:PB⊥面AEF
(Ⅱ)求二面角A-PE-F的大小.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,∠ABC=60°,E、F分别是PB,C
(I)证明:∵PA=AB,E是PB的中点,∴PB⊥AE,
∵ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD是等边三角形,(1分)
∵F是CD的中点,∴AF⊥CD,
∵AB∥CD,∴AF⊥AB,(2分)
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AF,
AF∩PA=A,∴AF⊥面PAB,(3分)
PB⊂面PAB,∴AF⊥PB,(4分)
∵AE∩PA=A,∴PB⊥平面 AEF.(5分)
(II)由(I)知,∠AEF是二面角A-PE-F的平面角,(7分)
设AB=a,则AE=

2
2a,AF=

3
2a,(9分)
在Rt△AEF中,tan∠AEF=

6
2,
二面角A-PE-F的大小为arctan

6
2.(10分)