搜搜做题作业网求极限问题lim┬(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 16:21:22
求极限问题
lim┬(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*sin pai/n
详情请见：
http://zhidao.baidu.com/question/388257884.html
lim┬(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*sin pai/n
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你那幅图中给出的计算方法不对,一楼的回答正确,这个夹逼是不成立的,本题应用定积分的定义来计算.
原式=lim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(sinπ/n)
=lim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(1/n)* lim n(sinπ/n)
后面一个极限非常简单,用第一个重要极限明显结果为π
=πlim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(1/n)
=πlim(n→∞) Σ[(i/n)cos(i/n)]*(1/n) i从1到n
上式极限刚好为定积分的定义
=π∫[0-->1] xcosxdx
=π∫[0-->1] xd(sinx)
=π[0-->1] xsinx -π∫[0-->1] sinxdx
=π*sin1+π*[0-->1] cosx
=π(sin1+cos1-1)
原式=lim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(sinπ/n)
=lim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(1/n)* lim n(sinπ/n)
后面一个极限非常简单,用第一个重要极限明显结果为π
=πlim(n→∞)〖(1/n*cos 1/n+2/n*cos 2/n+⋯+(n-1)/n*cos (n-1)/n+n/n*cos n/n〗*(1/n)
=πlim(n→∞) Σ[(i/n)cos(i/n)]*(1/n) i从1到n
上式极限刚好为定积分的定义
=π∫[0-->1] xcosxdx
=π∫[0-->1] xd(sinx)
=π[0-->1] xsinx -π∫[0-->1] sinxdx
=π*sin1+π*[0-->1] cosx
=π(sin1+cos1-1)
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