高数 比较定积分的大小
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/23 23:43:33
高数 比较定积分的大小
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let
f(x) =ln(1+x) - arctanx/(1+x)
f'(x) = 1/(1+x) - 1/[(1+x)(1+x^2)] + arctanx/(1+x)^2
= [(1+x^2) - 1 + (1+x)arctanx ] /[1+x)(1+x^2)]
= [x^2 +(1+x)arctanx]/ [1+x)(1+x^2)] >0 for x∈[0,1]
f(x) > f(0) =0
=> ln(1+x) - arctanx/(1+x) >0
=> ln(1+x) > arctanx/(1+x)
=> ∫ (0->1)ln(1+x) dx > ∫ (0->1)arctanx/(1+x) dx
f(x) =ln(1+x) - arctanx/(1+x)
f'(x) = 1/(1+x) - 1/[(1+x)(1+x^2)] + arctanx/(1+x)^2
= [(1+x^2) - 1 + (1+x)arctanx ] /[1+x)(1+x^2)]
= [x^2 +(1+x)arctanx]/ [1+x)(1+x^2)] >0 for x∈[0,1]
f(x) > f(0) =0
=> ln(1+x) - arctanx/(1+x) >0
=> ln(1+x) > arctanx/(1+x)
=> ∫ (0->1)ln(1+x) dx > ∫ (0->1)arctanx/(1+x) dx