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G是△ABC的重心,过点G的直线与边AB ,AC 相交于E,F,若向量AE=λ向量AB,向量AF=μ向量AC(0<λ,μ

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/08 00:13:19
G是△ABC的重心,过点G的直线与边AB ,AC 相交于E,F,若向量AE=λ向量AB,向量AF=μ向量AC(0<λ,μ<1),求证λ+μ≥4/3
答案有一段是:3(λ+μ)=(1/λ+1/μ)(λ+μ)=2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√(λ/μ·μ/λ)为什么?
同样,为什么可以有0<1/λ+1/μ≤[(1/λ+1/μ)/2]^2
G是△ABC的重心,过点G的直线与边AB ,AC 相交于E,F,若向量AE=λ向量AB,向量AF=μ向量AC(0<λ,μ
这道题目非常好
设BC中点为D
AG=2/3*AB=1/3(AB+AC)=AE/3λ+AF/3μ
由向量三点共线定理,GEF三点共线1/3λ+1/3μ=1 =>1/λ+1/μ=3为定值
3(λ+μ)=(1/λ+1/μ)(λ+μ)=2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√(λ/μ·μ/λ)是利用3的代换,然后运用基本不等式求最小值
同样,为什么可以有0<1/λ+1/μ≤[(1/λ+1/μ)/2]^2 这里可能答案有问题
对基本不等式a+b>=2根ab 两边平方得ab
再问: 为什么?2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√(λ/μ·μ/λ)
再答: 基本不等式a+b>=2√ab 所以(λ/μ+μ/λ)≥2√(λ/μ·μ/λ)=2 2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√(λ/μ·μ/λ)