求二阶微分方程y''-y=（sinx）^2的解

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 09:06:21

先求齐次方程y''-y=0的通解,
显然其特征方程为λ^2 -1=0解得λ=1或 -1
即y''-y=0的通解为c1e^x +c2e^(-x) c1、c2为常数
再求非齐次方程y''-y=(sinx)^2的特解,
显然(sinx)^2=0.5 -0.5cos2x,
故设y=acos2x -0.5,求导得到y''= -4acos2x
故y''-y= -4acos2x - (acos2x -0.5)= -5acos2x +0.5=(sinx)^2=0.5 -0.5cos2x
所以 -5a= -0.5,即a= 0.1
所以此二阶微分方程的解为：
y=c1e^x +c2e^(-x) + 0.1cos2x -0.5 c1、c2为常数
再问：请问为什么特解要设成y=acos2x -0.5
再答：因为方程y''-y=(sinx)^2中的非齐次项(sinx)^2=0.5 -0.5cos2x，这里的常数0.5显然是来自于y当中，而三角函数sinx和cosx在求导两次之后都只是改变了符号而已， (sinx)"= -sinx，(cosx)"= -cosx，因此-0.5cos2x一定是由acos2x的二阶导数减去acos2x得到的所以就将特解设成y=acos2x -0.5 实际上当然可以把特解设成： y=Asin2x +Bcos2x +C 来做，之后用待定系数法来解出常数ABC的值，在这里我这样来设更多的是做题的经验吧

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