搜搜做题作业网函数基本性质问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/07 07:48:14
已知定义在R上的增函数f（x），满足f（-x）=-f（x+4），当x>2时，函数f（x）单调递增，若x1+x2
解题思路： 题设中条件众多，欲判断f（x1）+f（x2）的符号，有两种可能一是-f（x1）＞f（x2），一是-f（x1）＜f（x2），又f（-x）=-f（x+4），令x=-x1，即得f（x1）=-f（4-x1），由此问题转化为比较f（4-x1）与f（x2）的大小比较，由题设条件易证
解题过程：
设x1＜x2，由（x1-2）（x2-2）＜0
得x1＜2，x2＞2，再由x1+x2＜4得
4-x1＞x2＞2，
因为x＞2时，f（x）单调递增，
所以f（4-x1）＞f（x2），
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x1得f（x1）=-f（4-x1），
所以-f（x1）＞f（x2），
即f（x1）+f（x2）＜0，
故答案为恒为负
解题过程：
设x1＜x2，由（x1-2）（x2-2）＜0
得x1＜2，x2＞2，再由x1+x2＜4得
4-x1＞x2＞2，
因为x＞2时，f（x）单调递增，
所以f（4-x1）＞f（x2），
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x1得f（x1）=-f（4-x1），
所以-f（x1）＞f（x2），
即f（x1）+f（x2）＜0，
故答案为恒为负