如图在等边三角形ABC内作矩形MNPQ,如果三角形ABC的边长为1.则矩形MNPQ的面积最大值为多少

如图在等边三角形ABC内作矩形MNPQ,如果三角形ABC的边长为1.则矩形MNPQ的面积最大值为多少

S矩NPQM最大值 (√3)/8
【1】
设CP=x
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∵四边形NPQM是矩形
∴MN=PQ
∴∠MNP=∠OPN=90°
∴∠BNM=∠CPQ=90°
在△BNM与△CPQ中
∠B=∠C
∠BNM=∠CPQ
MN=PQ
∴△BNM≌△CPQ（AAS）
∴BN=CP=x
∵BC=1
∴PN=1-x
∵Rt△QPC中,∠C=60°
∴PQ=√3 PQ=√3•x
∴S矩NPQM
=(1-2x)•√3x
=½√3•(2x)•(1-2x)
方法1）
由均值不等式ab≤【½(a+b)】²,且仅当a=b时取等号
∴(2x)•(1-2x)≤【½[(2x)+(1-2x)]】=(1/2)²=1/4
∴½√3•(2x)•(1-2x)≤(√3)/8
即S矩NPQM最大值 (√3)/8
方法2）
或设y=(1-2x)•√3x=-2√3•x²+√3x
由二次函数的知识可知,当二次函数y=ax²+bx+c,a＜0时
当x=-b/2a时,y有最大值(4ac-b²)/4a
所以当x=-√3/[2×(-2√3)]=1/4时
有最大值 【4×(-2√3)×0-(√3)²】/【4×(-2√3)】=(√3)/8
所以S矩NPQM最大值 (√3)/8
【2】
对于这道题目,我们还有另外的思考方法
因为大等边三角形面积一定,我们可以考虑除去矩形后剩下的面积,
又注意到△BNM与△CPQ可以拼成一个等边三角形.
那么剩下的面积就是两个等边三角形
设MB=x,那么AM=1-x
等边三角形面积公式：S=(√3/4)a²
剩下两个等边三角形面积和为：
(√3/4)[x²+(1-x)²]
=(√3/4)【[x²+2x(1-x)+(1-x)²]-2x(1-x)】
=(√3/4)【[x+(1-x)]²-2x(1-x)】
=(√3/4)[1-2x(1-x)]
矩形面积=大等边三角形面积-剩下两个等边三角形面积和
=(√3/4)- (√3/4)[1-2x(1-x)]
=(√3/4)•2x(1-x)
=(√3/2)•x(1-x)≤(√3/2)•【½[x+(1-x)]】²=(√3/2)•(1/4)=√3/8
且仅当 1-x=x时取等号
即当x=1/2时,S矩有最大值√3/8
当然这道题的价值并不仅此而已,题中的等边三角形也可以改为等腰直角三角形,顶角是120°的等腰三角形,甚至是一般等腰三角形.
在这些题目的探索中,你会发现最大矩形的面积与一般等腰三角形面积之间有一个关系.
聪明的你试试看吧!
【S最大矩形：S三角形=1：2
证明如下：
三角形面积公式=½ab•sinC【C是a,b边的夹角】
设△ABC中,AB=AC=a,P、N在BC上,M在AB上,Q在AC上,PNMQ是矩形
设BM=x,AM=a-x
作MD‖AC交BC于D
易得△MND≌△QPC
S△MND=S△QPC
BM=MD
∠BMD=∠A
所以S△ABC=½•a²•sinA
S△MAQ=½•x²•sinA
S△MBD=½•(a-x)²•sinA
S矩PNMQ
=S△ABC- S△MAQ- S△MBD
=½•a²•sinA-½•x²•sinA-½•(a-x)²•sinA
=½•sinA【a²-[x²+(a-x)²]】
=½•sinA【a²-[x+(a-x)²]+2x(a-x)】
=½•sinA•2x(a-x)
=sinA•x(a-x)
≤sinA•【½[x+(a-x)]】²（且仅当x=a-x时取等号）【均值不等式】
=(1/4)•sinA•a²
即当x=½a时,S矩PNMQ取最大值(1/4)•sinA•a²
所以S最大矩形：S三角形=【(1/4)• sinA•a²】：【½•sinA•a²】=1:2