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在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1-1/4an,bn=1/2an-1,其中n∈N*

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 13:52:53
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1-1/4an,bn=1/2an-1,其中n∈N*
求证:bn是等差数列,并求an的通项公式
设Cn=2an/(n+1),
数列{CnC(n+2)}的前n项和为Tn,是否存在正整数,使Tn<1/(CmC(m+1))对于n∈N*恒成立,若存在,求出m的最小值,若不存在,说明理由
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1-1/4an,bn=1/2an-1,其中n∈N*
n 的表达式就是我们入手的契机
1/2*(2a(n+1)-1) = a(n+1) -1/2 = 1/2-1/4an = (2an-1)/4an
分子分母颠倒 2/(2a(n+1)-1) =[ (4an-2)+2]/(2an-1) = 2+2/(2an-1)
也就是说 b(n+1) = 1+bn
bn 是以 1为首项,1为公差的等差数列
1/(2an-1) = bn = n ;所以 an =(n+1)/2n
Cn=2an/(n+1) = 1/n
设数列 en = CnC(n+2) = 1/n(n+2) = 1/2 * (1/n-1/(n+2)) 前 n项和为Tn
n=2k 时 Tn = 1/2 * ( 1/1-1/3 + 1/2-1/4 +1/3 -1/5 +...+1/2k - 1/(2k+2))
=1/2* [ (1-1/3+1/3-1/5+.+1/(2k-1)-1/(2k+1)) + (1/2-1/4+1/4.+1/2k-1/(2k+2))]
= 1/2* [ 3/2 - 1/(2k+1)-1/(2k+2)] 这是递增的
T2k 3/4 要恒成立
所以 m最小值 =1