孙子剩余定理乘率求法

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 16:12:27

孙子剩余定理乘率求法
“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即被三除余二,被五除余三,被七除余二的最小整数.
解法过程为2×70+3×21+2×15-2×105=23
其中70、21、15 叫做乘率.21=3*7,15=3*5,而70=2*5*7,为什么得到70要乘以2?

写成数论记号：同余号≡以下简记为==
注:
N 除以m余r,记作N == r mod m.
N与L除以m余数相同,称作同余,记作N==L mod m.
x==2 mod 3
==3 mod 5
==2 mod 7
这在数论中称为同余方程组,简称同余式组.
中国剩余定理(孙子定理)就是求解同余式组的手段之一(注意,并不是唯一方法).它的思想是这样的：
以下为方便说明,采用我引进的向量记法(近来我发现网上也有作者有类似记法),可写成：
x==(2,3,2) mod (3,5,7)
令
x1==(1,0,0);即x1==1 mod 3,x1==(0,0)mod(5,7),亦即x1被5,7整除.
x2==(0,1,0);
x3==(0,0,1)
那么可取
x==2x1+3x2+2x3
在求解x1时,由于x1被(5*7)整除,从而可设x1=5*7*k1;
又x1==1 mod 3,即5*7*k1==1 mod 3.
很显然可以取k1=2.这便是提问者问到的"为什么得到70要乘以2",其实取-1也行嘛.
对于此题,其实有更简当的解法,见我的另一处答题：
这里的k1,当然是很容易求的;但对于复杂的情况,如
对于如何用各式方法计算,我将会抽出时间,专文介绍.
上面的k1,南宋数学家秦九韶首次称之为乘率,并对k1的求法进行了系统的科学的分析,称为大衍求一术.
相关网页详见：
文章详见：
其实除了大衍求一术,
辗转相除法以及其相关的矩阵算法
还有洪伯阳先生在中介绍的算法：
还有张春荣、张景刚先生的剩余倍分法,武如长先生的阶法,可以解决这类问题.
下面是我的另一则相关答题,请参考:

中国剩余定理-----孙子定理是什么? 中国剩余定理：我国古代数学名著《孙子算经》中,记在这样一个问题:“今有物孙子定理用英语怎么说中国剩余定理，此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》，其中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二 1.中国剩余定理：我国古代数学名著《孙子算经》中,记在这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数加速度的求法简单了和动能定理关于同余和孙子定理的证明题如何用孙子定理计算韩信点兵的问题中国剩余定理指什么?要详细中国剩余定理有一个关于3、5、7的为什么除以三的余数乘70除以5的余数乘21除以7的余数乘15最后除以105 公务员行政测试（剩余定理,最小公倍数）的问题? 公考行测数学运算中剩余定理所归纳的：

孙子剩余定理 乘率求法

孙子剩余定理乘率求法