搜搜做题作业网有关圆锥曲线的数学题.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/13 17:10:14
有关圆锥曲线的数学题.
M(-2,0) N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2根号2.记P为W.若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点.若AB斜率为2,求证OA.OB为定值
请给出具体答案.必要的文字说明.
记P的轨迹为W
M(-2,0) N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2根号2.记P为W.若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点.若AB斜率为2,求证OA.OB为定值
请给出具体答案.必要的文字说明.
记P的轨迹为W
易知P的轨迹为双曲线,焦点为M(-2,0), N(2,0), 所以c=2
|PM|-|PN|=2√2, a=√2, b²=c²-a²=2
双曲线方程为 x²/a²-y²/b²=1
即 x²/2-y²/2=1
x²-y²=2 (1)
设A(x1,y1),B(x2,y2), 则OA·OB=x1x2+y1y2
AB斜率为2,设其方程为
y=2x+b (2)
将(2)代入(1),消去y则得到
x²-(2x+b)²=2, 整理得：
3x²+4bx+b²+2=0, x1和x2应是该方程的两个根,所以有 x1x2=(b²+2)/3
由(2)得 x=(y-b)/2, 代入(1), 消去x则得到
(y-b)²/4-y²=2, 整理得：
3y²+2by+8-b²=0, y1和y2应是该方程的两个根,所以有 y1y2=(8-b²)/3
所以 OA·OB=x1x2+y1y2 = (b²+2)/3+(8-b²)/3 = 10/3为定值
|PM|-|PN|=2√2, a=√2, b²=c²-a²=2
双曲线方程为 x²/a²-y²/b²=1
即 x²/2-y²/2=1
x²-y²=2 (1)
设A(x1,y1),B(x2,y2), 则OA·OB=x1x2+y1y2
AB斜率为2,设其方程为
y=2x+b (2)
将(2)代入(1),消去y则得到
x²-(2x+b)²=2, 整理得：
3x²+4bx+b²+2=0, x1和x2应是该方程的两个根,所以有 x1x2=(b²+2)/3
由(2)得 x=(y-b)/2, 代入(1), 消去x则得到
(y-b)²/4-y²=2, 整理得：
3y²+2by+8-b²=0, y1和y2应是该方程的两个根,所以有 y1y2=(8-b²)/3
所以 OA·OB=x1x2+y1y2 = (b²+2)/3+(8-b²)/3 = 10/3为定值