搜搜做题作业网设函数f（x）=lnx-ax+2．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/04 00:08:54
设函数f（x）=lnx-ax+2．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若a＞-e时，函数g（x）=ex-xf′（x）在[
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若a＞-e时，函数g（x）=ex-xf′（x）在[
| 1 |
| 2 |
（1）由f′（x）=
1−ax
x，（x＞0），
由a＞0得，当x∈（0，
1
a）时，f′（x）＞0，当x∈（
1
a，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，
1
a）递增，在（
1
a，+∞）递减，
∴f（x）极大值=f（
1
a）=-lna+1，没有极小值；
（2）由（1）得：g（x）=ex-xf′（x）=ex+ax-1，则g′（x）=ex+a，
①当a≥-
e时，由
1
2≤x≤3得g′（x）≥0，g（x）在[
1
2，3]上递增，
此时g（x）max=g（3），令g（3）=e3+3a-1=e3，解得：a=
1
3，符合题意；
②当-e＜a＜-
e时，
由g′（x）＜0得
1
2＜x＜ln（-a），∴函数g（x）在[
1
2，3]上递减，
∴g（x）≤g（
1
2）=
e+
1
2a-1＜
e-
1
2
e-1＜e3，不合题意，
由g′（x）＞0得ln（-a）＜x≤ln3，∴g（x）在（ln（-a），3]递增，
∴在区间（ln（-a），3]上，g（x）≤g（3）=e3+3a-1＜e3-3
e-1＜e3，不合题意，
综上，a的值是
1
3．
1−ax
x，（x＞0），
由a＞0得，当x∈（0，
1
a）时，f′（x）＞0，当x∈（
1
a，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，
1
a）递增，在（
1
a，+∞）递减，
∴f（x）极大值=f（
1
a）=-lna+1，没有极小值；
（2）由（1）得：g（x）=ex-xf′（x）=ex+ax-1，则g′（x）=ex+a，
①当a≥-
e时，由
1
2≤x≤3得g′（x）≥0，g（x）在[
1
2，3]上递增，
此时g（x）max=g（3），令g（3）=e3+3a-1=e3，解得：a=
1
3，符合题意；
②当-e＜a＜-
e时，
由g′（x）＜0得
1
2＜x＜ln（-a），∴函数g（x）在[
1
2，3]上递减，
∴g（x）≤g（
1
2）=
e+
1
2a-1＜
e-
1
2
e-1＜e3，不合题意，
由g′（x）＞0得ln（-a）＜x≤ln3，∴g（x）在（ln（-a），3]递增，
∴在区间（ln（-a），3]上，g（x）≤g（3）=e3+3a-1＜e3-3
e-1＜e3，不合题意，
综上，a的值是
1
3．