搜搜做题作业网关于轮换式因式分解的一个小问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 18:29:53
关于轮换式因式分解的一个小问题
分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式,可用因式定理分解,易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式,而四次多项式还有一个因式,由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”,故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数）,取,a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).其中说由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”,他是怎么由轮换对称性知这个一次因式是a+b+c的呢?
也就是说，得出有这个(a-b)(b-c)(c-a)三次式后，还差一个一次式，怎么想到用(a+b+c)的呢？
分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式,可用因式定理分解,易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式,而四次多项式还有一个因式,由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”,故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数）,取,a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).其中说由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”,他是怎么由轮换对称性知这个一次因式是a+b+c的呢?
也就是说，得出有这个(a-b)(b-c)(c-a)三次式后，还差一个一次式，怎么想到用(a+b+c)的呢？
轮换对称性可以这么理
还差一个一次式可以写成pa+qb+rc,其中p,q,r分别为a,b,c的系数,
这时候我们做一次轮换,令a->b,b->c,c->a,则原式不变,
另一个一次式为pb+qc+ra,
同理我们可以再做一次轮换,令a->c,b->a,c->b,则原式还是不变,
同样有另一个一次式为pc+qa+rb,
这三个一次式是等价的,于是我们得到p=q=r,
这时候我们就知道了另一个一次式是a+b+c.
祝学习进步
还差一个一次式可以写成pa+qb+rc,其中p,q,r分别为a,b,c的系数,
这时候我们做一次轮换,令a->b,b->c,c->a,则原式不变,
另一个一次式为pb+qc+ra,
同理我们可以再做一次轮换,令a->c,b->a,c->b,则原式还是不变,
同样有另一个一次式为pc+qa+rb,
这三个一次式是等价的,于是我们得到p=q=r,
这时候我们就知道了另一个一次式是a+b+c.
祝学习进步