搜搜做题作业网关于基本不等式的一个很简单的小问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 15:41:17
关于基本不等式的一个很简单的小问题
比如说一个函数(3x^2+4xy)/(x^2+y^2),它的值小于等于（3x^2+x^2+4y^2)/(x^2+y^2)=4
答案里就直接把4当做它的最大值了,为什么可以呢?分子取到了最大值又无法保证在分母的影响下这个函数也能取到最大值.
这个问题困惑了我两年了 求教.
比如说一个函数(3x^2+4xy)/(x^2+y^2),它的值小于等于（3x^2+x^2+4y^2)/(x^2+y^2)=4
答案里就直接把4当做它的最大值了,为什么可以呢?分子取到了最大值又无法保证在分母的影响下这个函数也能取到最大值.
这个问题困惑了我两年了 求教.
∵3x²+4xy≤3x²+x²+4y²,又x²+y²>0,
∴不等式两边同除以(x²+y²),得(3x²+4xy)/(x²+y²)≤(4x²+4y²)/(x²+y²)=4,
即(3x²+4xy)/(x²+y²)≤4,当且仅当x=2y时等号成立,
故(3x²+4xy)/(x²+y²)的最大值是4.
∴不等式两边同除以(x²+y²),得(3x²+4xy)/(x²+y²)≤(4x²+4y²)/(x²+y²)=4,
即(3x²+4xy)/(x²+y²)≤4,当且仅当x=2y时等号成立,
故(3x²+4xy)/(x²+y²)的最大值是4.