搜搜做题作业网已知函数f(x)=x+ +lnx（a∈R），
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 14:16:21
已知函数f(x)=x+ +lnx（a∈R）， (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值点； (Ⅱ)若对  ，函数f(x)满足对 都有f(x)＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）。 |
已知函数f(x)=x+
+lnx（a∈R），
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值点；
(Ⅱ)若对
，函数f(x)满足对
都有f(x)＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）。
(Ⅰ)
，
①a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时函数 f(x)无极值点；
②a＞0，令
（
舍去），
当0＜x＜x 1 时，f′(x)＜0，f(x)在(0，x 1 )上单调递减；
当x＞x 1 时，f′(x)＞0，f(x)在(x 1 ，+∞)上单调递增；
即f(x)在
上单调递减，在
上单调递增，
此时函数f（x）仅有极小值点
。
(Ⅱ)函数f(x)满足：
，对
都有f(x)＜m成立，
即f(x)在[1，e]上的最大值小于m，
由(Ⅰ)知，
，f(x)在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，
对
恒成立
，
又1+2e 2 -(3e+l)=(2e-3)e＞0
1+2e 2 ＞3e+l，
故实数m的取值范围是（1+2e 2 ，+∞）。
+lnx（a∈R）， (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值点；
(Ⅱ)若对
，函数f(x)满足对 都有f(x)＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）。 (Ⅰ)
，①a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时函数 f(x)无极值点；
②a＞0，令
（ 舍去），当0＜x＜x 1 时，f′(x)＜0，f(x)在(0，x 1 )上单调递减；
当x＞x 1 时，f′(x)＞0，f(x)在(x 1 ，+∞)上单调递增；
即f(x)在
上单调递减，在 上单调递增，此时函数f（x）仅有极小值点
。 (Ⅱ)函数f(x)满足：
，对 都有f(x)＜m成立，即f(x)在[1，e]上的最大值小于m，
由(Ⅰ)知，
，f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，所以，
对 恒成立 ，又1+2e 2 -(3e+l)=(2e-3)e＞0
1+2e 2 ＞3e+l，故实数m的取值范围是（1+2e 2 ，+∞）。