设A为n（n＞2）阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 08:40:37

AA* = |A|·E.
若A可逆,有|A| ≠ 0,A* = |A|·A^(-1)也是可逆的.
若A不可逆,有|A| = 0,故AA* = 0.
r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*) = 0,即r(A*) ≤ n-r(A).
当A ≠ 0,r(A) > 0,得r(A*) < n,A*不可逆.
而当A = 0,由伴随矩阵的构造易得A* = 0,A*同样不可逆.
实际上可以证明:对n > 1,
r(A) = n时,r(A*) = n.
r(A) = n-1时,r(A*) = 1.
r(A) < n-1时,r(A*) = 0.
再问：必要性怎么证？？？
再答：证明已经包含充分和必要性了, 只是充分性用得是逆否命题. 必要性是: 若A可逆则A*可逆. 充分性是: 若A*可逆则A可逆. 其逆否命题就是若A不可逆则A*不可逆, 也可理解为反证法.
再答：不用谢.

设a,b,c都是n阶矩阵,证明abc可逆的充分必要条件是a,b,c都可逆 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（　　） A为n阶方阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆. 线性代数与解析几何设N阶方阵A的N个特征值互异,B是N阶可逆阵.证明AB=BA(充分必要条件)存在可逆阵P使得P逆AP和设A是m*n矩阵,证明:r(A)=r的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆设A为n阶可逆方阵,证明|A*|=|A|^（n-1）设A,B是N阶方阵,f(x）是B的特征多项式,证明f(A)是可逆矩阵的充分必要条件是A与B没有相同的特征值. 证明n阶方阵A可逆的充分必要条件是A与n阶单位阵等价,求救啊,刘老设A是n阶方阵,且A的平方等于A,证明A+E可逆设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定设A是n阶方阵,且(A+E)的平方=O,证明A可逆