搜搜做题作业网老师怎么求函数的单调区间
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 21:09:17
老师怎么求函数的单调区间
不会在函数图像上看函数的单调区间
不会在函数图像上看函数的单调区间
解题思路： 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法
解题过程：
高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明：
1.定义法
例题 已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+∞)上是增函数，求a的值。
解 分析函数在R+上的单调性
任取x1>x2>0
Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)
=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)
令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0
因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1
当3X2^2-1>=0时 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的
同理 当3X1^2-1<=0时 即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的
故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)
因此 a=根号3/3
一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。
2.图像法
例题 求y=x+3/x-1的单调区间
解 函数定义域为（-∞，1）并（1，+∞)
Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1
由图像可知函数在（-∞，1）和（1，+0）上递减。
函数的图像是解决这类问题的关键。
3.性质法
性质：增+增=增 减+减=减
y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性 当k<0有相反的单调性
y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性
例题 求y=x^3+x的单调区间。
解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。
由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R.
4.复合法
u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。
例题 求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。
解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u
当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增
当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减
Y=根号u递增
所以 原函数的单调增区间为[1,+)
减区间为（-，-1]
解题过程：
高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明：
1.定义法
例题 已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+∞)上是增函数，求a的值。
解 分析函数在R+上的单调性
任取x1>x2>0
Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)
=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)
令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0
因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1
当3X2^2-1>=0时 即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的
同理 当3X1^2-1<=0时 即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的
故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)
因此 a=根号3/3
一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。
2.图像法
例题 求y=x+3/x-1的单调区间
解 函数定义域为（-∞，1）并（1，+∞)
Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1
由图像可知函数在（-∞，1）和（1，+0）上递减。
函数的图像是解决这类问题的关键。
3.性质法
性质：增+增=增 减+减=减
y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性 当k<0有相反的单调性
y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性
例题 求y=x^3+x的单调区间。
解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。
由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R.
4.复合法
u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。
例题 求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。
解 令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u
当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增
当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减
Y=根号u递增
所以 原函数的单调增区间为[1,+)
减区间为（-，-1]