搜搜做题作业网y关于x的函数xe^y=y-1求导
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/31 07:50:19
y关于x的函数
xe^y=y-1
求导
xe^y=y-1
求导
xe^y=y-1
得到
y=1+xe^y
两边对x求导：
y'=e^y+xe^y* y'
得：y'=e^y/(1-xe^y)=(y-1)/x/(1-y+1)=(y-1)/[x(2-y)]
y"=[y'x(2-y)-(y-1)(2-y-xy')]/[x^2(2-y)^2]=[(y-1)-(y-1)(2-y-(y-1)/(2-y)]/[x^2(2-y)^2]=(y-1)^2(3-y)/[x^2(2-y)^3]
再问： 麻烦问一下这是最终形式吗？ 能不能想办法让等号右没有y
再答： 因为xe^y=y-1是个超越方程，不可能把y作为x的显函数解出来，因此不可能从y'，y''的表 达式中消去y
再问： 那能不能先求xe^y=y-1的反函数的导 再取倒数呢？ 不好意思我对原函数反函数的导函数关系还只知结论不知证明
得到
y=1+xe^y
两边对x求导：
y'=e^y+xe^y* y'
得：y'=e^y/(1-xe^y)=(y-1)/x/(1-y+1)=(y-1)/[x(2-y)]
y"=[y'x(2-y)-(y-1)(2-y-xy')]/[x^2(2-y)^2]=[(y-1)-(y-1)(2-y-(y-1)/(2-y)]/[x^2(2-y)^2]=(y-1)^2(3-y)/[x^2(2-y)^3]
再问： 麻烦问一下这是最终形式吗？ 能不能想办法让等号右没有y
再答： 因为xe^y=y-1是个超越方程，不可能把y作为x的显函数解出来，因此不可能从y'，y''的表 达式中消去y
再问： 那能不能先求xe^y=y-1的反函数的导 再取倒数呢？ 不好意思我对原函数反函数的导函数关系还只知结论不知证明