搜搜做题作业网设m∈Q,m>0,证明P={x+y√m|x,y∈Q}是一个数域 并且证明P = Q ⇐⇒ √m
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 05:57:20
设m∈Q,m>0,证明P={x+y√m|x,y∈Q}是一个数域 并且证明P = Q ⇐⇒ √m ∈ Q.
设m∈Q,m>0,证明P={x+y√m|x,y∈Q}是一个数域 并且证明P = Q ⇐⇒ √m ∈ Q.
设m∈Q,m>0,证明P={x+y√m|x,y∈Q}是一个数域 并且证明P = Q ⇐⇒ √m ∈ Q.
一、要证明是数域,即证明和、差、积、商封闭
和、差、乘封闭的证明差不多,我只证明和封闭：
任取x1,x2,y1,y2属于有理数集,x1+x2,y1+y2也属于有理数
所以x1+y1√m+x2+y2√m=(x1+x2)+(y1+y2)√m也属于P
除法封闭的证明：当x2,y2不能都为0时,
(x1+y1√m）/（x2+y2√m)=(x1+y1√m）*（x2+y2√m)/(x2^2-y2^2*m)
=((x1x2-y1y2m)+√m(x2y1-x1y2))/(x2^2-y2^2*m)
=[(x1x2-y1y2m)/(x2^2-y2^2*m)]+[(x2y1-x1y2)/(x2^2-y2^2*m)]*√m
故除法也封闭
二、“⇐”,当√m ∈ Q时,x+y√m 也是有理数,所以Q包含P,而任意元素a属于Q,可是表示成a+0*√m的形式,所以P包含Q,所以P=Q
"⇒"当P=Q时,P中元素皆为有理数,√m是P中元素,所以√m是有理数
和、差、乘封闭的证明差不多,我只证明和封闭：
任取x1,x2,y1,y2属于有理数集,x1+x2,y1+y2也属于有理数
所以x1+y1√m+x2+y2√m=(x1+x2)+(y1+y2)√m也属于P
除法封闭的证明：当x2,y2不能都为0时,
(x1+y1√m）/（x2+y2√m)=(x1+y1√m）*（x2+y2√m)/(x2^2-y2^2*m)
=((x1x2-y1y2m)+√m(x2y1-x1y2))/(x2^2-y2^2*m)
=[(x1x2-y1y2m)/(x2^2-y2^2*m)]+[(x2y1-x1y2)/(x2^2-y2^2*m)]*√m
故除法也封闭
二、“⇐”,当√m ∈ Q时,x+y√m 也是有理数,所以Q包含P,而任意元素a属于Q,可是表示成a+0*√m的形式,所以P包含Q,所以P=Q
"⇒"当P=Q时,P中元素皆为有理数,√m是P中元素,所以√m是有理数
设集合P=={x|x=n2+1,n∈N},Q=={y|y=m2-4m+1,m∈N},则P与Q的关系是
1设P.Q是非空集合,定义P⊙Q={x∈(p∪Q)且x∈/(P∩Q)},现有集合M={x|0≤x≤4},N={x|x>1
p:m6；q:y=x^2+mx+m+3有两个不同的零点 p是q的充要条件
设O是坐标原点直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+m=0交于P,Q PQ长度为根号31求实数m
集合M={x|-2≤x≤a}≠∅，P={y|y=2x+3，x∈M}，Q={z|z=x2，x∈M}，如果Q⊆P，求a的取值
设集合P={(x,y)/y=2x-1},Q={(x,y)/y=x-(m-2)x},若P交 Q= 空集 ,则实数m的取值范
如何证明几何题中m/n=p/q
设f=（x）=x平方+px+q,p,q属于 R,M={x┆x=f(x)},N={x┆x=f(f(x))}.证明M属于N?
若直线l:x+2y-3=0与圆x^2+y^2-2mx+m=0相交于P、Q两点并且OP垂直OQ,求实数m之值
过点P（6,M) Q(M,3)的直线与直线X-2Y+5=0平行 则M的值是
设直线L:x-y+m=0与圆C：x的平方+y的平方=4相交于P、Q,若OP垂直于OQ（O为坐标系原点）,求实数m的值 =
已知集合P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=a^x+1,a>0,a不等于1},如果P与Q的交集有且只有一个