抛物线y=-x^2+2（k-1）x+k+1与x轴交与AB两点,与y轴交与C点,线段OA、OB的长度之比为1:3

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/14 09:21:55

抛物线y=-x^2+2（k-1）x+k+1与x轴交与AB两点,与y轴交与C点,线段OA、OB的长度之比为1:3
（1）求解析式及A、B坐标（2）圆D,AB直径,与y轴正半轴交与点E,EF是切线,求F坐标（3）R是x轴上任意一点,过R点做x轴的垂线,交BC于P,交抛物线于Q点,当R在何位置时,PQ有最大值?

1)设点A为(-a,0),B为(b,0),
则：a:b=1:3,b=3a.
由一元二次方程根与系数的关系可知：
-a+b=2(k-1); -ab=-(k+1).
即：-a+3a=2a=2(k-1),a=k-1;
-3a²=-(k+1),-3(k-1)²=-(k+1),k=1/3或2.（k=1/3不合题意,舍去）
把k=2代入原抛物线解析式得：
y=-x²+2x+3.
当y=0时,0=-x²+2x+3,x=-1或3.故A为(-1,0),B为(3,0).
2)D为线段AB的中点,则D为（1,0),DE=(1/2)AB=2.
∵EF为圆D的切线.
∴∠DEF=∠DOE=90°；
又∠ODE=∠EDF,
则⊿ODE∽⊿EDF,DE/DF=DO/DE.
∴DE²=DO*DF,2²=1*DF,DF=4,OF=DF-DO=3.故点F为(-3,0).
3)抛物线为y=-x²+2x+3,则点C为（0,3）；又点B为（3,0）.
利用C,B两点的坐标可求得直线BC为：y= -x+3;
设R的横坐标为m,则y=-m+3,即PR的长为-m+3;
R横坐标为m,则:y=-m²+2m+3,即QR的长为-m²+2m+3.
∴PQ=QR-PR=-m²+2m+3-(-m+3)=-(m-3/2)²+9/4.
故当m=3/2时,PQ有最大值9/4.
即R为(3/2,0)时,PQ有最大值,且最大值为9/4.