如何得到函数的等价无穷小?比如e^(1/2n)-1 和1/(2n),（n趋）已知前者如何得到后者?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 08:56:06

如何得到函数的等价无穷小?比如e^(1/2n)-1 和1/(2n),（n趋）已知前者如何得到后者?
如题,这样

举个例子,比如我们要求cosx -1的等价无穷小(x趋于0),则我们可以则样做：不断求导,直至其取极限不为0.
(cosx -1)' = -sinx 显然,此时x取极限还是为0,继续求导
(-sinx)' = -cosx,此时极限为-1
我们经过两次求导得到非0极限,所以等价无穷小应该是x的2次项式,即ax^2,a为待定系数,我们需要ax^2求导两次得到的数与-1相等,所以得到a=-1/2.
故等价无穷小为-x^2/2.
其实,上面的过程就是罗比达法则的逆应用.只要掌握了这个方法,就不难找出等价无穷小了.
再问：理解了，谢谢。只是，罗比达法则正向应用的时候不是求导的那个极限和原极限相等嘛？不明白上述过程为什么是罗比达的逆用呢？请指教谢谢
再答：假设你要找f(x)的无穷小等价，我们设为g(x)，如果其存在，那么应该有f(x)/g(x)经过几次罗比达法则求导后求极限为1。所以，我们可以利用这一原理，反推g(x)是什么。如果f(x)经过两次求导后取极限不为0了，则必然要求g(x)求导两次后取极限不为0，而且有二则之比为1，这样，就可以求出g(x)了，上面的例子就是这个意思。
再问：了解，只是：“我们经过两次求导得到非0极限，所以等价无穷小应该是x的2次项式，即ax^2” 为什么两次求导得到非0极限，就一定是二次项？也可以是大于二次的吧？就是说最少是二次的吧？这个地方麻烦您指教下，谢谢
再答：如果大于二次，两次求导后，对导函数在求x趋于0的极限，则极限为0，这显然就不对了，结果就成了分母是趋于0，分子趋于非0常数，整体不可能趋于1，这就和等价无穷小的定义矛盾了。所以分母的多项式只可能是2次的。
再问：再请教两个问题： 1，是不是等价无穷小只能用在x趋近0的时候? 2,既然tanx和sinx都是x的等价无穷小，那么它们两个是不是也是等价无穷小呢？谢谢
再答： 1.不是，只看函数是否趋于零，比如1/x，在x趋于正无穷这样的语境下就是无穷小。 2.是的，但是我们找一个函数的等价无穷小往往是指多项式，因为计算简单。

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