搜搜做题作业网高数 试证：当X>0时,有1/1+x
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/06 18:34:44
高数 试证：当X>0时,有1/1+x
证明：∵x＞0
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x,x+1]连续
2）开区间（x,x+1）可导
从而,由微分中值定理知：
在开区间（x,x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x],其中,x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x
∴函数f（u）=lnu在
1）闭区间[x,x+1]连续
2）开区间（x,x+1）可导
从而,由微分中值定理知：
在开区间（x,x+1）内至少存在一点c使得
f′（c）=[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x],其中,x＜c＜x+1
∵f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c
又∵x＜c＜x+1
∴1/(x+1)＜1/c＜1/x
∴1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x
即1/(x+1)＜【ln（x+1）-lnx】/【(x+1)-x】＜1/x
∴1/1+x
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