搜搜做题作业网证明p/q+根号2是无理数
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 23:58:15
证明p/q+根号2是无理数
因为没有给出p和q的限制条件,
所以 p/q+√2是有理数还是无理数是不确定的
所以无从谈起 “证明p/q+根号2是无理数”的问题
要要想使本命题成立,必须改为
若p、q整数,且q≠0,证明p/q+√2是无理数
例如
当 p=1 q=2时,p/q+√2=1/2+√2为无理数
当 p=1 q=1-√2时,p/q+√2=1/（1-√2）+√2=-（1+√2）+√2=-1为有理数
再问： 如果设p/q属于有理数，有没有办法用反证法证明这个命题
再答： 解 因为 有理数+无理数=无理数 又因为 p/q属于有理数 所以 要想证明 p/q+√2为无理数 只要证明 √2为无理数即可 下面用反证法证明 √2为无理数 假设根号2是有理数， 则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质） 所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2 所以 m^2/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数） 所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶数 因为 m、n互质 所以 矛盾 所以 根号2不是有理数，它是无理数
所以 p/q+√2是有理数还是无理数是不确定的
所以无从谈起 “证明p/q+根号2是无理数”的问题
要要想使本命题成立,必须改为
若p、q整数,且q≠0,证明p/q+√2是无理数
例如
当 p=1 q=2时,p/q+√2=1/2+√2为无理数
当 p=1 q=1-√2时,p/q+√2=1/（1-√2）+√2=-（1+√2）+√2=-1为有理数
再问： 如果设p/q属于有理数，有没有办法用反证法证明这个命题
再答： 解 因为 有理数+无理数=无理数 又因为 p/q属于有理数 所以 要想证明 p/q+√2为无理数 只要证明 √2为无理数即可 下面用反证法证明 √2为无理数 假设根号2是有理数， 则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质） 所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2 所以 m^2/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数） 所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶数 因为 m、n互质 所以 矛盾 所以 根号2不是有理数，它是无理数