向量组等价的问题向量组a与b等价且a线性无关,证明b也线性无关.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 15:38:20

向量组等价的问题
向量组a与b等价
且a线性无关,证明b也线性无关.

结论错误,需要补充条件,比如两个向量组中向量的个数相等.
反例：向量组a：(1,0),(0,1),线性无关
向量组b:(1,0),(0,1),(1,1),线性相关
但是两个向量组是等价的
再问：如果加入这个条件，那应该怎么证明？
再答：等价则等秩，即极大线性无关组中向量的个数相等，所以若一个向量组线性无关，即秩等于向量个数，那么另外一个向量组的秩也等于向量个数，所以一定线性无关。或者用矩阵：假设向量组I组成一个m×n矩阵A，向量组II组成一个s×n矩阵B，两个向量组等价，则存在矩阵C,D，使得A=BC,B=AD，所以R(A)=R(B)。向量组I的秩是n，即R(A)=n，所以R(B)=n，向量组II线性无关

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