搜搜做题作业网如何证明矩阵和的秩不超过矩阵秩的和
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 15:30:09
如何证明矩阵和的秩不超过矩阵秩的和
设矩阵是m×n的,A=[α1,α2,……αn],B=[β1,β2,……,βn]
那么A+B=[α1+β1,α2+β2,……αn+βn]
r(A+B)=r(α1+β1,α2+β2,……αn+βn)
α1+β1,α2+β2,……αn+βn可由 α1,α2,……αn,β1,β2,……,βn线性表出；
所以
r(A+B)≤r(α1,α2,……αn,β1,β2,……,βn)≤r(α1,α2,……αn)+r(β1,β2,……,βn)=r(A)+r(B)
所以：r(A+B)≤r(A)+r(B)
那么A+B=[α1+β1,α2+β2,……αn+βn]
r(A+B)=r(α1+β1,α2+β2,……αn+βn)
α1+β1,α2+β2,……αn+βn可由 α1,α2,……αn,β1,β2,……,βn线性表出；
所以
r(A+B)≤r(α1,α2,……αn,β1,β2,……,βn)≤r(α1,α2,……αn)+r(β1,β2,……,βn)=r(A)+r(B)
所以：r(A+B)≤r(A)+r(B)