椭圆与直线已知直线l:y=x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1交与A,B两点，a>b>0,若以线段AB为直径的

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 22:53:23

椭圆与直线
已知直线l:y=x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
交与A,B两点，a>b>0,
若以线段AB为直径的圆经过原点O，且椭圆的离心率e∈[√6/3，2√2/3],求实数a的取值范围

将直线y=x+1代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1中
得
(a^2+b^2)x^2+2a^2x+a^2-a^2b^2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
以线段AB为直径的圆经过原点O
∴向量OA·向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
x1x2+(x1+1)(x2+1)=0
2xx1x2+(x1+x2)+1=0
韦达定理得
2a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1=0
化简得
1/a^2+1/b^2=2
b^2=a^2/(2a^2-1)
∵c^2=a^2-b^2
∴c^2=(2a^4-2a^2)/(2a^2-1)
e^2=c^2/a^2=1-1/(2a^2-1)
∴a^2=1/2+1/(2-2e^2)
∵e∈[√6/3,2√2/3]
∴e^2∈[2/3,8/9]
∴a^2∈[16/14,5]
a∈[4√14/14,√5]
仅供参考

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