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如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P-ABC的体积V=16

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/25 17:53:16
如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P-ABC的体积V=
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如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P-ABC的体积V=16
证明:连接AD和PD
∵BC⊥PA,BC⊥ED,PA与ED相交,
∴BC⊥平面PAD,
∵ED⊥PA,
∴S△ABC=
1
2PA•ED=
1
2Lh
VB-PAD=
1
3(
1
2Lh)•BD=
1
6Lh•BD
同理,VC-PAD=
1
6Lh•CD
∴三棱锥P-ABC的体积
V=
1
6Lh•BD+
1
6Lh•CD=
1
6Lh(BD+CD)=
1
6Lh•BC=
1
6L2h.
若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.