搜搜做题作业网矩阵证明题.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 02:20:30
矩阵证明题.
这个要用一点图论的技术
考虑一个n个节点的图,如果A(i,j)≠0就在i->j连一条边（允许i=j的情况）
由条件可得对于每个点i而言,恰好有一条边从i出发,也恰好有一条边以i为终点
这个图 有n条边,可以分成若干个互不相交的环,根据连通分支把这些点重新编号一下（把同一个环上的点依次排在一起）,从矩阵上看就是根据图取一个排列阵P使得P^TAP=diag{A1,A2,..,Ak},其中每个Ai对应于一个环
对于环而言其表示矩阵Ai具有如下结构
Ai=
0 0 0 0 x
x 0 0 0 0
0 x 0 0 0
0 0 x 0 0
0 0 0 x 0
每个x是+1或-1
准备工作就到这里,直接验证Ai^L是一个以1或-1为对角元的对角阵,其中L是Ai的阶数,即环的长度
所以Ai^{2L}是单位阵
再取m是所有2L的最小公倍数即得结论
再问： 老师，我们这是线性代数的习题，我不能用大三的图论来做呀，有没有其他角度的理解？
再答： 做法是一模一样的，只不过是换一种表述方式
如果第一列的非零元是对角元，则可对右下角归纳
如果第一列的非零元是非对角元，比如说A(1,k)≠0，那么把第k行第k列和第2行第2列交换一下，然后继续考察第二列的非零元，如果它不在第一行就把它换到第三行上，……如此下去会产生一个上述Ai形式的对角块出来，然后就可以归纳了
考虑一个n个节点的图,如果A(i,j)≠0就在i->j连一条边（允许i=j的情况）
由条件可得对于每个点i而言,恰好有一条边从i出发,也恰好有一条边以i为终点
这个图 有n条边,可以分成若干个互不相交的环,根据连通分支把这些点重新编号一下（把同一个环上的点依次排在一起）,从矩阵上看就是根据图取一个排列阵P使得P^TAP=diag{A1,A2,..,Ak},其中每个Ai对应于一个环
对于环而言其表示矩阵Ai具有如下结构
Ai=
0 0 0 0 x
x 0 0 0 0
0 x 0 0 0
0 0 x 0 0
0 0 0 x 0
每个x是+1或-1
准备工作就到这里,直接验证Ai^L是一个以1或-1为对角元的对角阵,其中L是Ai的阶数,即环的长度
所以Ai^{2L}是单位阵
再取m是所有2L的最小公倍数即得结论
再问： 老师，我们这是线性代数的习题，我不能用大三的图论来做呀，有没有其他角度的理解？
再答： 做法是一模一样的，只不过是换一种表述方式
如果第一列的非零元是对角元，则可对右下角归纳
如果第一列的非零元是非对角元，比如说A(1,k)≠0，那么把第k行第k列和第2行第2列交换一下，然后继续考察第二列的非零元，如果它不在第一行就把它换到第三行上，……如此下去会产生一个上述Ai形式的对角块出来，然后就可以归纳了