设f(x)二次可微,对任意闭曲线c有∫[c,0]2yf(x)dx+x^2f'(x)dy=0且f(1)=2,f'(1)=1

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 10:02:19

设f(x)二次可微,对任意闭曲线c有∫[c,0]2yf(x)dx+x^2f'(x)dy=0且f(1)=2,f'(1)=1,求f'(x)

依题意知:积分∫2yf(x)dx+x^2f'(x)dy与路径无关
∂[2yf(x)]/∂y=∂[x^2f'(x)]/∂x
2f(x)=2xf'(x)+x^2f''(x)
得到微分方程x^2y''+2xy'-2y=0
令x=e^t,t=lnx,dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)/x
同理d^2y/dx^2=(d^2y/dt^2-dy/dt)/x^2
转化为y关于自变量t的方程:y''+2y'-2y=0
特征方程r^2+2r-2=0,r=-1±(√3)i
y=e^(-t)[C1cos(√3)t+C2sin(√3)t]
f(x)=[C1cos[(√3)lnx]+C2sin[(√3)lnx]]/x
代入f(1)=2,f'(1)=1
C1=2,C2=√3
f(x)=[2cos[(√3)lnx]+(√3)sin[(√3)lnx]]/x
f'(x)={[-(2√3)sin[(√3)lnx]+3cos[(√3)lnx]]-[2cos[(√3)lnx]+(√3)sin[(√3)lnx]}/x^2

设Ψ(x)二次可微,对任意闭曲线C有∮2yΨ(x)dx+x2Ψ′(x)dy=0且Ψ(1)=2,Ψ′(1)=1,求Ψ(x) 设f(x)可导,且f'(0=1,又y=f(x^2+sin^2x)+f(arctanx),求dy/dx /x=0 高数下,若对于平面上任意简单闭曲线L,恒有∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0,f(0)=2,求f(x) 设曲线f(x)在[0,1]上可导,且y=f(sin^2x)+f(cos^2x),求dy/dx 设二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）满足f（-1）=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x^2 设二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x^2-3x+3.Ⅰ、求设f（x）在（0~正无穷）有定义,且f '(1)=1,对任意x,y,恒有f（xy）=yf(x)+f(y),求 f(x)? 已知二次函数f(x)满足f(0)=0,且对任意x∈R总有f(x+1)=f(x)+x+1,g(x)=2f(-x)+x,求f 设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0,f(x)＜0,f(1)=-2,Ⅰ证明F(X 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(1)=1 f(-1)=0 且对任意实数x都有f(x) 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(1)=1 f(-1)=0 且对任意实数x都有f(x)≥ 设f(x)当X＞0时连续∫f(x)dx=2x/(1+x^2)+C,求f(x)