高中数学不等式题（3）

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 20:19:37

高中数学不等式题（3）
设x,y∈R＋且（1/x）+（9/y）=1,则x+y的最小值为?

法一：由于（1/x）+（9/y）=1,所以
x+y=x*1+y*1=x*[(1/x)+(9/y)]+y*[(1/x)+(9/y)]=10+(9x/y+y/x)
>=10+2*sqrt[(9x/y)*(y/x)]=16.
因此,x+y的最小值是16.
当且仅当(9x/y)=(y/x),也就是y=3x的时候上式取等号,此时将y=3x代入（1/x）+（9/y）=1可得x=4,y=12.
法二：根据（1/x）+（9/y）=1,可得x=y/(y-9),于是：
x+y=y+y/(y-9)=(y^2-8y)/(y-9)=[(y-9)^2+10(y-9)+9]/(y-9)
=(y-9)+9/(y-9)+10>=2*sqrt{(y-9)*[9/(y-9)]}+10=16.
亦即x+y的最小值是16.
当且仅当(y-9)=9/(y-9),亦即y=12,x=y/(y-9)=4的时候,上式取等号.
法三：由于x、y都是正实数,故根据柯西不等式,有：
（x+y）[(1/x)+(9/y)]>=[sqrt(x)*sqrt(1/x)+sqrt(y)*sqrt(9/y)]^2=16,
所以x+y>=16,即它的最小值是16.
当且仅当sqrt(x)/sqrt(1/x)=sqrt(y)/sqrt(9/y),即y=3x的时候,上式取等号.此时代入（1/x）+（9/y）=1可得x=4,y=12.
法四：因为（1/x）+（9/y）=1,所以可令
（1/x）=(sinA)^2,（9/y）=(cosA)^2,于是根据三角代换,有：
x=1/[(sinA)^2]=[1+(tanA)^2]/(tanA)^2,
y=9/[(cosA)^2]=9*(secA)^2=9*[(tanA)^2+1],
因此x+y=[1+(tanA)^2]/(tanA)^2+9*[(tanA)^2+1]
=10+[9*(tanA)^2+1/(tanA^2)]>=10+2*sqrt{[9*(tanA)^2]*[1/(tanA^2)]}=16.
因此x+y的最小值是16,当且仅当9*(tanA)^2=1/(tanA^2),也就是
(tanA^2)=1/3时上式取等号.这时有
x=1/[(sinA)^2]=[1+(tanA)^2]/(tanA)^2=4,
y=9/[(cosA)^2]=9*(secA)^2=9*[(tanA)^2+1]=12.

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