a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 05:03:31
a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
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“^”代表次方
成立
证明:
a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
∵0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
∴a^3+b^3+c^3≥3abc
成立
证明:
a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
∵0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
∴a^3+b^3+c^3≥3abc
设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是______.
设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
已知a+b+C=0证明a3+ b3+ c3= 3abc
怎样用柯西不等式证明a3+b3+c3>=a2b+b2c+c2a 是a的平方,a的3次方,还有a,b,c都是正实数
问道关于不等式的题,a3+b3+c3+3abc>2(a+b)c2 已知a>0 b>0 c>0 a+b>c a,b,c互不
已知 a+ b+ c=0 ,求证a3+ b3+ c3=3abc
已知:a2+b2+c2-2(a+b+c)+3=0,求a3+b3+c3-3abc的值
若abc为正数,证明2(a3+b3+c3)大于等于a2(b+c)+b2(a+c)+c2( a+b)注是3是立方
证明:因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得 1a3+1b3+1c3≥
已知a+b+c+d=0,求证a3+b3+c3+d3=3(abc+bcd+cda+dab)
已知三角形的三条边a,b,c适合等式:a3+b3+c3=3abc,请确定三角形的形状.
已知a+b+c+d=0,a3+b3+c3+d3=3求证