角平分线和垂直平分线 讲解习题

角平分线和垂直平分线 讲解习题
角平分线和垂直平分线的PPT、DOC讲解课件

Ⅲ．例题讲解
[例1]如图,在△ABC中,AC＝BC,∠C＝90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E．
(1)已知CD＝4cm,求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理,而且将计算和证明融合在一起,目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法,并能综合运用它们解决问题．第(1)问中,求AC的长,需求出BC的长,而BC＝CD＋DB,CD＝4cm,而BD在等腰直角三角形DBE中,根据角平分线的性质,DE＝CD＝4cm,再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中,求证AB＝AC＋CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明,利用转化的思想AB＝AE＋BE,所以需证AC＝AE,CD＝BE．
∵AD是△ABC的角平分线,
∠C＝90°,DE⊥AB．
∴DE＝CD＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵AC＝BC．∴∠B＝∠BAC(等边对等角)．
∵∠C＝90°,
∴∠B＝ ×90°＝45°．
∴∠BDE＝90°－45°＝45°．
∴BE＝DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD＝ ＝ cm(勾股定理),
∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋ )cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知,
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC＝AE．
∵BE＝DE＝CD,
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．
[例2]已知：如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C、D．
求证：(1)OC＝OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)∵P是∠AOB角平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC＝PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中,
OP＝OP,PC＝PD,
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)．
(2)又OP是∠AOB的角平分线,
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
如图,△ABC中,点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为2004,BC的边长为704,求△ADE的周长．
[过程]求△ADE的周长,即需求出AD＋DE＋AE的和,根据题意,要整体转化方可求出．首先O是△ABC中∠BAC和∠ABC的角平分线的交点,则O必在∠ACB的角平分线上,即OC平分∠ACB．而DE∥BC,恰好能构造出等腰三角形ODB和等腰三角形OEC,则DB＝OD,EC＝OE,则AD＋DE＋AE＝(AD＋DB)＋(CE＋AE)＝AB＋AC．此题便可获解．
[结果]连接OC．
∵O是∠ABC和∠BAC角平分线的交点,
∴OC平分∠ACB(三角形三条角平分线交于一点)．
∴∠OCE＝∠OCB．
又∵DE∥BC,
∴∠EOC＝∠OCB(两直线平行,内错角相等)．
∴∠OCE＝∠EOC
∴OE＝EC(等角对等边)．
同理可证OD＝DB．
∴△ADE的周长为
AD＋DO＋OE＋AE
＝AD＋DB＋EC＋AE
＝AB＋AC
＝2004－704
＝1300．