证明有无穷多的三角数是平方数

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 15:00:11

证明有无穷多的三角数是平方数
令Sn=1+2+3+4+……+n,有些三角数是平方数,如S8=6方,S49=35方,证明有无穷多的三角数是平方数.

1.先介绍一下PELL方程：
n^2-dm^2=1.（1）
（其中n,m,d都是正整数,而且d不是平方数,其中d是以知数,n,m是未知数.）
这种方程是有我穷多组解的,而且有求解的通项公式.
如果n0,m0,和n1,m1是该方程的两组解,那么对于符合如下式子的整数n2,m2也是该方程的解；
n2+Tm2=（n0+Tm0）*（n1+Tm1）.(2)
,其中T=根号d
以上结论极易证,利用n0,m0,以及n1,m1都符合(1)式,就能推出由（2）式得出的n2,m2也符合（1）式.
而且,我们假定n1和m1是该方程最小一组解,那么该方程的所有解n（i）,m（i）,都可以用以下式子表示
n（i）+Tm（i）=（n1+Tm1）^i
（这个证明挺烦琐,就不证了,反正不用证对解决本题无影响.）
从而有n（i）-Tm（i）=（n1-Tm1）^i
那么可以得出,
n（i）={（n1+Tm1）^i+（n1-Tm1）^i}/2
下面开始解本题
设SN=N（N+1）/2=m^2
上式即（2N+1）^2-8m^2=1
即证明上式所对应的PELL方程有无穷多解就可以了.
由上面讨论知,上式的所有N（i）有
N（i）={{（n1+Tm1）^i+（n1-Tm1）^i}/2-1}/2
其中n1=3,m1=1,T=根号8
N从小到大为1,8,49,288.以后的太大了,自己算吧...
注意该解答字母的大小写：）

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