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(2014•重庆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 12:22:32
(2014•重庆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点,连接CF,且∠ACF=∠CBG.求证:
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
(2014•重庆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于
证明:(1)∵∠ACB=90°,CG平分∠ACB,
∴∠ACG=∠BCG=45°,
又∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAF=∠CBF=45°,
∴∠CAF=∠BCG,
在△AFC与△CGB中,

∠ACF=∠CBG
∠CAF=∠BCG
AC=BC,
∴△AFC≌△CBG(ASA),
∴AF=CG;

(2)延长CG交AB于H,
∵CG平分∠ACB,AC=BC,
∴CH⊥AB,CH平分AB,
∵AD⊥AB,
∴AD∥CG,
∴∠D=∠EGC,
在△ADE与△CGE中,

∠AED=∠CEG
∠D=∠EGC
AE=CE,
∴△ADE≌△CGE(AAS),
∴DE=GE,
即DG=2DE,
∵AD∥CG,CH平分AB,
∴DG=BG,
∵△AFC≌△CBG,
∴CF=BG,
∴CF=2DE.