设a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证：a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 05:51:30

阳光从在风雨后,你好：
高中的几个均值不等式,即当 a>0,b>0时, 2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√(a^2+b^2)/2
另外,因为本题并没有a,b,c为正数的条件,不好直接用以上均值不等式,均值不等式的条件是,一正,二定,三相等,此题只有个二定,所以不好直接运用,但此题是个对称式,另外有：
1/（a^2+1）=1/[1-(-a^2)]=1-a^2+a^4-a^6+a^8+----+(-1)^n *a^(2n) 即无穷多项等比数列之和的逆展开,此数列首项为1,公比为-a^2.同理展开1/(b^2+1),1/(c^2+1),三式相加.
得到
1/（a^2+1+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)≤3-(a^2+b^2+c^2)≤3-(a+b+c)^2/3=3-1/3≤2.7,

我的上面的证法是错的,我要再考虑,另外,因为这是个对称形式,也就是轮换不等式.轮换不等式其实就是一种具有对称性质的不等式,在不等式中,变量的“地位”是平等的,这点在求不等式的某些性质的时候是非常有用的.
例如：a^2+b^2+c^2≤3,求a＋b＋c的最大值和最小值,
利用轮换对称思想,我们可以猜想,最值一定是在a＝b＝c的时候取到!于是可以知道：当a＝b＝c＝－1时,有最小值－3,当a＝b＝c＝1时,有最大值3
此题也一样,显然当a=b=c时,才有最大值,此时a=b=c=1/3,代入原式中,得最大值为2.7. 求最值容易,就是相等时有最值,但证明的过程却难,楼上的,平方均值不满足定值啊. 这题起码是至少是国家级数学竞赛的水平.
★★★★★★★★★★正确证法如下：
算了,我先暂时放弃,我会回来的.我就不信了!等我想通了上来修改.

设a.b.c为一切实数且a+b+c=1,求证a2+b2+c2>=1/3 a,b,c为实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证|ac+bd| a2+b2+c2=1,a+b+2根号c小于等于x+1的绝对值怎么计算? 用分析法求证已知a,b,c,d都是实数且a2加b2等于1 c2加d2等于1 求证绝对值ac加bd小于等于1 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:1>a2+b2+c2 ≥ 1/3 , （1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca； a,b,c>0 ,a2+b2+c2+2abc=1 求证：a+b+c 若a、b、c为实数，且a+b+c=1，则a2+b2+c2的最小值为______．已知abc=1 a+b+c=2 a2+b2+c2=3 求(ab+c-1)、(bc+a-1)、(ac+b-1)三个倒数的和已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的取值范围是已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+a2=1,求证:丨ac+bd丨≤1 a.b.c是正实数,a+b+c=1怎样证明a2+b2+c2>=1/3