搜搜做题作业网线性代数的一个球可逆矩阵的问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 12:51:12
线性代数的一个球可逆矩阵的问题
为什么b不是0的时候有N个线性无关的特征向量?
为什么这些线性的特征向量组成的P是可逆矩阵?
为什么b不是0的时候有N个线性无关的特征向量?
为什么这些线性的特征向量组成的P是可逆矩阵?
实际上当b=0时,A也有n个线性无关的特征向量.不过这种情况下A是一个单位矩阵,每一个非零n维向量都是A的特征向量.没意思.
当b不为零时,矩阵有特征值1+(n-1)b （这是单根）和特征值1-b（这是n-1重根）.
对于特征值1+(n-1)b,矩阵A有一个线性无关的特征向量.对于特征值1-b,矩阵A有n-1个线性无关的特征向量.合起来就是n个线性无关的特征向量.
因为P的列是这n个线性无关的特征向量,所以矩阵P的列秩是n,因为矩阵的秩等于矩阵的列秩,所以矩阵P的秩也是n,故P是可逆矩阵.
再问： 对于特征值1-b，矩阵A有n-1个线性无关的特征向量 他们的特征值都是b-1 应该是相关的啊？？
再答： 我们求一下看看啊
当b不为零时,矩阵有特征值1+(n-1)b （这是单根）和特征值1-b（这是n-1重根）.
对于特征值1+(n-1)b,矩阵A有一个线性无关的特征向量.对于特征值1-b,矩阵A有n-1个线性无关的特征向量.合起来就是n个线性无关的特征向量.
因为P的列是这n个线性无关的特征向量,所以矩阵P的列秩是n,因为矩阵的秩等于矩阵的列秩,所以矩阵P的秩也是n,故P是可逆矩阵.
再问： 对于特征值1-b，矩阵A有n-1个线性无关的特征向量 他们的特征值都是b-1 应该是相关的啊？？
再答： 我们求一下看看啊