已知n为任意整数,试判断根号（n-3）（n-2）（n-1）n+1表示的数是有理数还是无理数?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 11:30:16

已知n为任意整数,试判断根号（n-3）（n-2）（n-1）n+1表示的数是有理数还是无理数?
我上网查了,以下是我找到的一个网友的回答,但我有一些地方不明白,
√（n-3）（n-2）（n-1）n+1
=√（n²-3n)(n²-3n+2)+1
=√(n²-3n)²+2(n²-3n)+1
=√(n²-3n+1)²
=n²-3n+1
n为整数,所以√（n-3）（n-2）（n-1）n+1为有理数.
为什么（n²-3n)(n²-3n+2)=(n²-3n)²+2(n²-3n)?
为什么n是整数?为什么n是整数,√（n-3）（n-2）（n-1）n+1 就是有理数?

（n²-3n)(n²-3n+2)=(n²-3n)²+2(n²-3n)
不懂的话：
可先把n²-3n看成x
则（n²-3n)(n²-3n+2)=x(x+2)=x²+2x
再把x用n²-3n代替
得出
（n²-3n)(n²-3n+2)=(n²-3n)²+2(n²-3n)

为什么n是整数?为什么n是整数,√（n-3）（n-2）（n-1）n+1 就是有理数?
上面已经有步骤了
√（n-3）（n-2）（n-1）n+1
=√（n²-3n)(n²-3n+2)+1
=√(n²-3n)²+2(n²-3n)+1
=√(n²-3n+1)²
=n²-3n+1
因为n为整数,所以n²-3n+1为整数
那么√（n-3）（n-2）（n-1）n+1也为整数
再问：为什么从结果可以看出n是整数？
再答： n是整数那是题目已知的，至于n^2-3n+1是整数是因为整数的平方仍是整数，整数相加、相减仍是整数。

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