请证明爱尔可斯定理:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 06:10:20
请证明爱尔可斯定理:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形.
证明:连接AE、CE、CD,M是AE的中点,N是CE的中点,H是CD的中点,连接QM、QN、PM、CN、PH、GH,
∵△PQG由线段AD、BE、CF的中点构成的三角形,M是AE的中点,N是CE的中点,H是CD的中点,
∴QM=
1
2AB,QN=
1
2BC,PH=
1
2AC,NG=
1
2EF,PM=
1
2DE,HG=
1
2DF,∠NQE=∠CBE,∠AMP=∠AED,∠ABE=∠MQE,
∵AB=BC=AC,EF=DE=DF,
∴QM=QN=PH,PM=NG=HG,
∵∠PMQ=∠AMQ+∠AMP=∠MQE+∠QEM+∠AED=∠MQN+∠NQE+∠QED=∠ABE+∠QED=∠ABC+∠CBE+∠QED=60°+∠EBC+∠QED,∠QNG=∠QNC+∠CNG=∠NQE+∠QEN+∠NED+∠DEF=∠NQE+∠QED+60°,
∴∠PMQ=∠GNQ,
在△PQM和△GQN中,
QM=QN
PM=NG
∠PMQ=∠GNQ,
∴△PQM≌△GQN(SAS),
∴PQ=QG,
同理可证:PG=PQ=QG,
∴△PQG是正三角形.
∵△PQG由线段AD、BE、CF的中点构成的三角形,M是AE的中点,N是CE的中点,H是CD的中点,
∴QM=
1
2AB,QN=
1
2BC,PH=
1
2AC,NG=
1
2EF,PM=
1
2DE,HG=
1
2DF,∠NQE=∠CBE,∠AMP=∠AED,∠ABE=∠MQE,
∵AB=BC=AC,EF=DE=DF,
∴QM=QN=PH,PM=NG=HG,
∵∠PMQ=∠AMQ+∠AMP=∠MQE+∠QEM+∠AED=∠MQN+∠NQE+∠QED=∠ABE+∠QED=∠ABC+∠CBE+∠QED=60°+∠EBC+∠QED,∠QNG=∠QNC+∠CNG=∠NQE+∠QEN+∠NED+∠DEF=∠NQE+∠QED+60°,
∴∠PMQ=∠GNQ,
在△PQM和△GQN中,
QM=QN
PM=NG
∠PMQ=∠GNQ,
∴△PQM≌△GQN(SAS),
∴PQ=QG,
同理可证:PG=PQ=QG,
∴△PQG是正三角形.
如图所示,△DEF是正三角形,且AD=BE=CF,试判断△ABC是正三角形吗?若是,请予以证明;若不是,请说明理由.
,△DEF为正三角形,D,E,F分别为边AB,BC,CA上的点,且AD=BE=CF求证△ABC是正三角形
一道几何题目的证明.三角形DEF是画正三角形,AD=BF=EC,证三角形ABC是正三角形
如何证明拿破仑定理?在△ABC中,向三边分别向外侧作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.
三角形ABC,点D ,E, F分别是AB,BC,CA边上的点.已知三角形DEF是正三角形,AD=BE=CF,求证三角形A
如图,△ABC和△DEF均为正三角形,D,E分别在AB,BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形并证明.
def是正三角形abc三边中线判断三角形def的形状并证明
如图,三角形ABC,三角形DEF均为正三角形,D,E分别在AB,BC上,请找出一个与三角形DBE相似的三角形并证明.
如图,△DEF是正三角形,AD=BF=EC,求证:△ABC是正三角形.
如图,已知三角形ABC和三角形DEF均为正三角形,D、E分别在AB和BC上,请找出一个与三角形DBE相似的三角形并证明
△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是线段AB,BC,CA上的点,若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF吗?证明过
如图,△ABC,△DEF均为正三角形,D,E分别在AB,BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形,证明与△ECH相似