求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/14 11:32:50

求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc<1/2

由a,b,c为三角形三边,有a+b-c > 0,b+c-a > 0,c+a-b > 0.
相乘得(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0,展开得a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca² > a³+b³+c³+2abc ①.
于是由a+b+c = 1,有2(a²+b²+c²+4abc) = 2(a²+b²+c²)(a+b+c)+8abc
= 2(a³+b³+c³)+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+8abc
= a³+b³+c³+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc+(a³+b³+c³+2abc)
< a³+b³+c³+3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc (由①)
= (a+b+c)³
= 1,
即a²+b²+c²+4abc < 1/2.
不等式①在证明某些以构成三角形三边为条件的不等式时很好用.
因为在a,b,c > 0的前提下,①是a,b,c构成三角形三边的充要条件.
上述证明的思路就是用a+b+c = 1的条件将不等式化为齐次不等式,然后用①证明之.

若a、b、c为三角形三边长,且a、b、c满足(a-c)²+（a-c)b=0则三角形ABC为()三角形已知三角形ABC的三边长为a,b,c,且a²（b-c)-b²（a-c)+c²(a-b)=0 已知a,b,c为三角形ABC三边,求证a²+b²+c² 在三角形ABC三边长a,b,c且满足a²+b²+c²–2a-2b=2c-3,则三角形ABC 已知：△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足等式a²-c²+ab-bc=0,确定三角形的 a b c为三角形ABC的三边长,求证(b-a-c)(b-a+c)小于等于零. 设a、b、c为三角形ABC的三边长,且满足a³+b³+c³=3abc,求证三角形ABC是正已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c满足已知a,b,c为三角形ABC的三边,其中a≠b,且满足a²c²-b²c²=a四次已知三角形三边长为abc,且[a+b-c]+[a-b-c]=10求b的值. 若a,b,c为三角形ABC的三边长,且(a-b)b+c(b-a)=c(c-a)+b(a-b),试判断三角形ABC的形状并若三角形ABC的三边长为a,b,c,且满足a^4=b^4+c^4-b^2c^2,b^4=c^2+a^4-c^2a^2,c