搜搜做题作业网线性代数中二次型相关问题疑惑求解；
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/20 11:03:45
线性代数中二次型相关问题疑惑求解；
我想知道是不是所有的n元二次型都可以写成矩阵形式呢?我觉得二次型的系数都可以对半拆分,然后将二次型矩阵构成对称的,所以我认为所有的二次型都可以表示成矩阵形式,
我想知道是不是所有的n元二次型都可以写成矩阵形式呢?我觉得二次型的系数都可以对半拆分,然后将二次型矩阵构成对称的,所以我认为所有的二次型都可以表示成矩阵形式,
是的,一定可以表示成矩阵形式
再问： 书上是这样写的：对于任意的n元二次型X'AX都可以通过坐标变换写成标准型； 因为书上写成了X'AX所以这个A肯定是对称的；但是如果一个二次型f写成那种普通的形式，那我题目中的说法还对不对？还是不是一定可以化成标准二次型？谢谢
再答： 写成X'AX并不代表A就是对称的，比如A= 1 2 0 1 矩阵B= 1 1 1 1 那么f=X'AX=x1^2+2x1x2+x2^2=X'BX，其中B是二次型f的矩阵，但A不是f的矩阵。 任何一个结构X'AX一定可以改写成X'BX，B对称，所以X'AX一定是二次型，也一定可以化成标准形二次型。
再问： 不是说如果二次型表示成X'AX那就是二次型的矩阵形式吗？而二次型的矩阵形式必须是对称的吗？
再答： 不管A是不是对称的，X'AX都是二次型，二次型一般都写成X'BX，B对称，这时候称B为二次型的矩阵。所以X'AX中，A是不是二次型的矩阵要结合具体题目观察。
再问： 书上是这样写的：对于任意的n元二次型X'AX都可以通过坐标变换写成标准型； 因为书上写成了X'AX所以这个A肯定是对称的；但是如果一个二次型f写成那种普通的形式，那我题目中的说法还对不对？还是不是一定可以化成标准二次型？谢谢
再答： 写成X'AX并不代表A就是对称的，比如A= 1 2 0 1 矩阵B= 1 1 1 1 那么f=X'AX=x1^2+2x1x2+x2^2=X'BX，其中B是二次型f的矩阵，但A不是f的矩阵。 任何一个结构X'AX一定可以改写成X'BX，B对称，所以X'AX一定是二次型，也一定可以化成标准形二次型。
再问： 不是说如果二次型表示成X'AX那就是二次型的矩阵形式吗？而二次型的矩阵形式必须是对称的吗？
再答： 不管A是不是对称的，X'AX都是二次型，二次型一般都写成X'BX，B对称，这时候称B为二次型的矩阵。所以X'AX中，A是不是二次型的矩阵要结合具体题目观察。