搜搜做题作业网下面第三题怎么归纳法证明?
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 06:56:47
下面第三题怎么归纳法证明?
第一小题：
当n＝1时,左边＝2^2＝4,右边＝2×1×(1＋1)(2×1＋1)/3＝4,等式成立
假设n＝k时,等式成立,即有：2^2＋4^2＋…＋(2k)^2＝2k(k＋1)(2k＋1)/3成立
当n＝k＋1时
2^2＋4^2＋…＋(2k)^2＋(2k＋2)^2
＝2k(k＋1)(2k＋1)/3＋4(k＋1)^2
＝2(k＋1)[k(2k＋1)/3＋2(k＋1)]
＝2(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)]/3
＝2(k＋1)(2k^2＋7k＋6)/3
＝2(k＋1)(k＋2)(2k＋3)/3
也就是n＝k＋1时结论也成立,故原结论成立
第二小题：
n＝1时,左边＝1/2!＝1/2,右边＝1－1/2!＝1/2,结论成立
假设n＝k时结论成立,即有：1/2!＋2/3!＋3/4!＋…＋k/(k＋1)!＝1－1/(k＋1)!成立
当n＝k＋1时：
1/2!＋2/3!＋3/4!＋…＋k/(k＋1)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－1/(k＋1)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－(k＋2)/(k＋2)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－[(k＋1)＋1]/(k＋2)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－1/(k＋2)!－(k＋1)/(k＋2)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－1/(k＋2)!
故结论成立
当n＝1时,左边＝2^2＝4,右边＝2×1×(1＋1)(2×1＋1)/3＝4,等式成立
假设n＝k时,等式成立,即有：2^2＋4^2＋…＋(2k)^2＝2k(k＋1)(2k＋1)/3成立
当n＝k＋1时
2^2＋4^2＋…＋(2k)^2＋(2k＋2)^2
＝2k(k＋1)(2k＋1)/3＋4(k＋1)^2
＝2(k＋1)[k(2k＋1)/3＋2(k＋1)]
＝2(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)]/3
＝2(k＋1)(2k^2＋7k＋6)/3
＝2(k＋1)(k＋2)(2k＋3)/3
也就是n＝k＋1时结论也成立,故原结论成立
第二小题：
n＝1时,左边＝1/2!＝1/2,右边＝1－1/2!＝1/2,结论成立
假设n＝k时结论成立,即有：1/2!＋2/3!＋3/4!＋…＋k/(k＋1)!＝1－1/(k＋1)!成立
当n＝k＋1时：
1/2!＋2/3!＋3/4!＋…＋k/(k＋1)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－1/(k＋1)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－(k＋2)/(k＋2)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－[(k＋1)＋1]/(k＋2)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－1/(k＋2)!－(k＋1)/(k＋2)!＋(k＋1)/(k＋2)!
＝1－1/(k＋2)!
故结论成立